Ableitung berechnen

Eine Ableitung berechnen Sie hier ohne Anmeldung: Funktion von x eingeben, und das Tool liefert die vereinfachte Ableitung samt Rechenweg mit den angewandten Regeln. Auf Wunsch folgen die zweite und dritte Ableitung sowie Funktionswert, Steigung und Tangente an einer Stelle.

Quelle: Ableitungsregeln: Summen-, Faktor-, Produkt-, Potenz- und Kettenregel sowie Ableitungen von sin, cos, tan, exp, ln (Standardstoff der Analysis). Stand: 5. Oktober 2026.

Funktion f(x)

z. B. x^3 - 4x + 1, sin(x)*x^2, e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x). Erlaubt: + − * / ^, Klammern, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Gewünschte Ableitung

Stelle x₀ (optional)

für Funktionswert, Steigung und Tangente; leer lassen, wenn nicht gewünscht

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Ergebnis

Ableitung: x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
Alle Stufen: f′(x) = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
Rechenweg (erste Ableitung): Produktregel (u·v)′ = u′·v + u·v′: (x^2·sin(x))′ = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
› Potenzregel (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹: (x^2)′ = 2x
› Kettenregel: äußere mal innere Ableitung: (sin(x))′ = cos(x)
Funktionswert und Steigung: f(1) = 0,841471; f′(1) = 2,22324
Tangente an der Stelle x₀: y = 2,22324x − 1,38177
Stellen mit f′(x) = 0 (−10 bis 10): x = −8,09616: Tiefpunkt (f″ > 0), f(x) = −63,635
x = −5,08699: Hochpunkt (f″ < 0), f(x) = 24,083
x = −2,28893: Tiefpunkt (f″ > 0), f(x) = −3,9453
x = 0: waagrechte Tangente, f″ = 0 – Vorzeichenwechsel von f′ prüfen, f(x) = 0
x = 2,28893: Hochpunkt (f″ < 0), f(x) = 3,9453
x = 5,08699: Tiefpunkt (f″ > 0), f(x) = −24,083
x = 8,09616: Hochpunkt (f″ < 0), f(x) = 63,635; Das Ergebnis wird exakt vereinfacht, kann aber anders aussehen als in Ihrer Lösung, ohne falsch zu sein. Für Ableitungen gilt der Definitionsbereich der Funktion, z. B. x > 0 bei ln(x).

So wird gerechnet

Die Ableitung einer Funktion gibt an, wie stark sich ihr Wert ändert: an jeder Stelle ist sie die Steigung der Tangente. Dieses Tool leitet Funktionen einer Variablen symbolisch ab, vereinfacht das Ergebnis und zeigt, welche Regel auf welchen Teil angewendet wurde.

Die wichtigsten Ableitungsregeln

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, also (x³)′ = 3x².
Faktor- und Summenregel: Eine Zahl vor dem Term bleibt stehen, Summen werden Glied für Glied abgeleitet.
Produktregel: (u·v)′ = u′·v + u·v′, zum Beispiel bei x²·sin(x).
Kettenregel: Bei verschachtelten Funktionen wie sin(2x) wird die äußere Ableitung mit der inneren multipliziert: 2·cos(2x).
Standardfunktionen: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x.

Höhere Ableitungen, Steigung und Tangente

Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung, die dritte die Änderung der Krümmung. Wenn Sie eine Stelle x₀ eintragen, berechnet das Tool den Funktionswert, die Steigung f′(x₀) und die Tangente y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Die Gegenprobe mit dem Differenzenquotienten ist in den Tests des Rechenkerns fest eingebaut. Den Verlauf der Funktion sehen Sie im Funktionsplotter; für Wurzeln und Potenzen helfen der Potenzrechner und der Rechner für quadratische Gleichungen.

Graph, Extremstellen und Gegenprobe

Unter den Feldern zeichnet das Tool f (durchgezogen) und f′ (gestrichelt) in ein Bild. Tragen Sie eine Stelle x₀ ein, kommen der Berührpunkt und die Tangente dazu. So sehen Sie direkt: Wo f′ die x-Achse schneidet, hat f eine waagrechte Tangente; wo f′ positiv ist, steigt f.

Die Zeile „Stellen mit f′(x) = 0“ listet diese Stellen zwischen −10 und 10 auf und ordnet sie über die zweite Ableitung ein: f″ < 0 Hochpunkt, f″ > 0 Tiefpunkt. Ist auch f″ = 0, entscheidet erst der Vorzeichenwechsel von f′ – das sagt das Tool dann dazu. Die Stellen werden numerisch gesucht und auf 6 gültige Stellen gerundet.

Jede Ableitung wird vor der Ausgabe im Hintergrund mit dem Differenzenquotienten an 24 Stellen verglichen. Passt etwas nicht zusammen, erscheint eine Meldung statt eines Ergebnisses. Ableitungen sind jetzt bis zur fünften Ordnung möglich. Nicht unterstützt werden arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, Betrag und mehrere Variablen – dafür gibt es eine klare Meldung. Die Umkehrung, also die Stammfunktion, berechnet der Integralrechner.

Häufige Fragen

Wie berechne ich eine Ableitung?

Die Funktion in Teile zerlegen und je Teil die passende Regel anwenden: Potenzregel für xⁿ, Summen- und Faktorregel für Summen und Zahlen davor, Produkt- oder Kettenregel bei Verknüpfungen. Das Tool zeigt genau diese Schritte.

Welche Funktionen werden unterstützt?

Summen, Produkte, Brüche und Potenzen von x sowie sin, cos, tan, exp, ln und Wurzeln, dazu die Konstanten e und pi. Auch Ausdrücke wie 2^x oder x^x werden abgeleitet. Mehrere Variablen und Integrale sind nicht enthalten.

Wie schreibe ich Brüche und Wurzeln?

Brüche mit dem Schrägstrich, etwa 1/x oder (x+1)/(x-2). Wurzeln mit sqrt(x) oder als Potenz x^(1/2). Das Dezimalkomma funktioniert ebenfalls: 0,5x^2.

Was ist die Tangente an einer Stelle?

Die Gerade, die den Graphen an der Stelle x₀ berührt und dort dieselbe Steigung hat. Sie lautet y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Das Tool trägt die Zahlen für Sie ein.

Warum sieht mein Ergebnis anders aus als die Musterlösung?

Gleiche Ableitungen lassen sich unterschiedlich schreiben, etwa 2sin(x)·cos(x) und sin(2x). Setzen Sie zur Kontrolle denselben Wert ein: Liefern beide Formen die gleiche Zahl, sind sie gleichwertig.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: 5. Oktober 2026 · So prüfen wir