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Quadratische Gleichung lösen

So können Sie jede quadratische Gleichung lösen: Bringen Sie sie in die Form ax² + bx + c = 0 und tragen Sie a, b und c ein. Der Rechner zeigt Lösungen, exakte Form und jeden Schritt.

Beispiel: a (Faktor vor x²) 2 · b (Faktor vor x) -8 · c (Zahl ohne x) 6 → Lösungen: x₁ = 1; x₂ = 3. Quelle: Wolfram MathWorld – Lösungsformel für quadratische Gleichungen und Diskriminante (englisch). Stand: .

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Ergebnis

Lösungen
x₁ = 1; x₂ = 3
Diskriminante
D = 16 > 0 → zwei Lösungen
Scheitelpunkt der Parabel
S(2 | −2)
Linearfaktoren (faktorisierte Form)
2 · (x − 1) · (x − 3)
Satz von Vieta
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
Rechenweg
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • pq-Formel: durch a teilen → x² + px + q = 0 mit p = −4, q = 3
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • Probe mit dem Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −b ÷ a und x₁ · x₂ = c ÷ a
a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist ihr tiefster Punkt.

So wird gerechnet

Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 löst man mit der Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet: D > 0 ergibt zwei Lösungen, D = 0 eine doppelte, D < 0 keine reelle Lösung. Beispiel: 2x² − 8x + 6 = 0 hat D = 16 und die Lösungen x₁ = 1, x₂ = 3.

Mitternachtsformel oder pq-Formel?

Beide führen zum selben Ergebnis. Die Mitternachtsformel (abc-Formel) arbeitet direkt mit a, b und c. Für die pq-Formel teilt man zuerst durch a und erhält die Normalform x² + px + q = 0; dann gilt x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Der Rechner zeigt beide Wege – so können Sie Ihre Hausaufgabe mit der Formel vergleichen, die im Unterricht verwendet wird.

So bringen Sie die Gleichung in Form

Exakte Form, Scheitelpunkt und Faktorisierung

Bei ganzzahligen Koeffizienten gibt der Rechner die Lösungen exakt an – als Bruch (6x² − x − 2 = 0 → −1/2 und 2/3) oder mit vereinfachter Wurzel (x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2). Außerdem erhalten Sie den Scheitelpunkt S(−b/(2a) | c − b²/(4a)), die Linearfaktoren a(x − x₁)(x − x₂) und die Probe nach Vieta. Ist D negativ, stehen die komplexen Lösungen daneben.

Den Graphen der Parabel mit Nullstellen zeichnet der Funktionsplotter. Wurzeln rechnen Sie mit dem Potenzrechner nach, Brüche mit dem Bruchrechner. Rechnerisch arbeitet das Werkzeug mit der numerisch stabilen Variante der Formel, damit auch sehr ungleiche Koeffizienten genaue Ergebnisse liefern.

Häufige Fragen

Wie lautet die Mitternachtsformel?

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) für die Gleichung ax² + bx + c = 0. Den Namen hat sie, weil man sie „auch um Mitternacht aufsagen können“ soll.

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Wenn die Diskriminante D = b² − 4ac negativ ist. Die Parabel schneidet dann die x-Achse nicht; es gibt nur komplexe Lösungen wie 1 ± 2i.

Wie funktioniert die pq-Formel?

Gleichung durch a teilen, sodass x² + px + q = 0 dasteht. Dann ist x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Beispiel x² − 4x + 3 = 0: x = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also 1 und 3.

Wie löse ich x² − 9 = 0 ohne Formel?

Nach x² umstellen und Wurzel ziehen: x² = 9, also x = 3 oder x = −3. Bei x² + 4x = 0 klammert man x aus: x(x + 4) = 0 → x = 0 oder x = −4.

Was bedeutet eine doppelte Lösung?

Bei D = 0 fallen beide Lösungen zusammen: Die Parabel berührt die x-Achse genau im Scheitelpunkt, etwa x² − 4x + 4 = (x − 2)² mit x = 2.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand:

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