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Gleichungssystem-Rechner

Tippen Sie die Gleichungen einfach so ein, wie sie im Heft stehen. Der Gleichungssystem-Rechner löst das LGS exakt mit dem Gauß-Verfahren und zeigt jeden Umformungsschritt.

Quelle: Wolfram MathWorld – Gauß-Verfahren (englisch). Stand: .

Variablen als Buchstaben (x, y, z … oder x1, x2), Zahlen auch als 0,5 oder 3/4; Terme dürfen auf beiden Seiten stehen.
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Ergebnis

Lösung
x = 3; y = 2
Lösungsmenge
genau eine Lösung
Determinante der Koeffizientenmatrix
−5
Lösungsweg (Gauß-Jordan)
  • Erweiterte Koeffizientenmatrix: (2 3 | 12) (1 −1 | 1)
  • Z1 : 2 → (1 3/2 | 6) (1 −1 | 1)
  • Z2 − Z1 → (1 3/2 | 6) (0 −5/2 | −5)
  • Z2 : (−5/2) → (1 3/2 | 6) (0 1 | 2)
  • Z1 − (3/2) · Z2 → (1 0 | 3) (0 1 | 2)
Probe
  • 2x + 3y = 12: 12 = 12 ✓
  • x − y = 1: 1 = 1 ✓
Rang der Matrix = Anzahl der Unbekannten = 2, daher genau eine Lösung.

So wird gerechnet

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Welcher Fall vorliegt, zeigt das Gauß-Verfahren: Es bringt das System schrittweise in Stufenform, ohne die Lösungsmenge zu verändern.

Das Gauß-Verfahren

  1. Koeffizienten und rechte Seiten in die erweiterte Matrix schreiben, z. B. 2x + 3y = 12 und x − y = 1 als (2 3 | 12) und (1 −1 | 1).
  2. Zeilen tauschen, eine Zeile durch eine Zahl teilen oder ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen abziehen – so entstehen unter und über der Diagonale Nullen.
  3. Am Ende steht links die Einheitsmatrix, rechts die Lösung: x = 3, y = 2.

Der Rechner rechnet dabei mit exakten Brüchen, es gibt also keine Rundungsfehler. Zur Kontrolle setzt er die Lösung in jede ursprüngliche Gleichung ein (Probe).

Andere Lösungsverfahren

Bei zwei Gleichungen sind in der Schule auch das Einsetzungsverfahren (eine Gleichung nach x auflösen und einsetzen), das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren üblich. Alle liefern dasselbe Ergebnis; das Additionsverfahren ist genau der Gauß-Schritt „Vielfaches einer Zeile abziehen“. Für quadratische Systeme gibt es außerdem die Cramersche Regel über Determinanten – ist die Determinante 0, gibt es keine eindeutige Lösung.

Wann gibt es keine oder unendlich viele Lösungen?

Entsteht beim Umformen eine Zeile 0 = 5, widersprechen sich die Gleichungen: keine Lösung (zwei parallele Geraden). Entsteht 0 = 0, war eine Gleichung überflüssig; dann bleiben Unbekannte frei wählbar und es gibt unendlich viele Lösungen. Quadratische Gleichungen mit nur einer Unbekannten löst der Rechner für quadratische Gleichungen, einzelne Brüche der Bruchrechner und freie Rechenausdrücke der wissenschaftliche Taschenrechner.

Häufige Fragen

Wie löst man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten?

Zum Beispiel mit dem Additionsverfahren: 2x + 3y = 12 und x − y = 1. Die zweite Gleichung mal 3 und addieren ergibt 5x = 15, also x = 3 und damit y = 2.

Was ist das Gauß-Verfahren?

Ein Verfahren, das ein LGS durch Zeilenumformungen in Stufenform bringt. Von unten nach oben lassen sich die Unbekannten dann nacheinander ablesen.

Wann hat ein LGS keine Lösung?

Wenn beim Umformen eine Zeile 0 = c mit c ≠ 0 entsteht. Dann ist der Rang der erweiterten Matrix größer als der der Koeffizientenmatrix.

Wann gibt es unendlich viele Lösungen?

Wenn das System widerspruchsfrei ist, aber weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte hat. Die übrigen Unbekannten sind dann frei wählbar (Parameter).

Kann ich Brüche und Dezimalzahlen eingeben?

Ja, z. B. 0,5x + 3/4y = 2. Der Rechner rechnet exakt mit Brüchen und gibt die Lösung als Bruch und als Dezimalzahl aus.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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