Lineare-Regression-Rechner
Mit dem Lineare-Regression-Rechner bestimmen Sie aus Ihren Wertepaaren die Regressionsgerade y = m · x + b samt Bestimmtheitsmaß, Standardfehlern, Prognose und Streudiagramm.
Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Linear Least Squares Regression. Stand: .
So wird gerechnet
Für die Beispieldaten ergibt sich y = 1,012 · x + 1,321 mit R² = 0,92. Die Regressionsgerade ist die Gerade, die die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zu allen Punkten minimiert (Methode der kleinsten Quadrate).
So wird gerechnet
Die Steigung ist m = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)², der Achsenabschnitt b = ȳ − m · x̄. R² gibt an, welcher Anteil der Streuung von y durch x erklärt wird. Der Standardfehler der Schätzung ist s = √(Σ Rest² / (n − 2)); daraus folgen die Standardfehler von Steigung und Achsenabschnitt, das 95-%-Intervall der Steigung (t-Verteilung mit n − 2 Freiheitsgraden) und der p-Wert für die Frage, ob die Steigung von 0 abweicht.
Gut zu wissen
- Die Prognose ist am genauesten nahe dem Mittelwert von x; weit außerhalb der Daten (Extrapolation) wird sie unsicher, das zeigt das breitere Intervall.
- Das Intervall für den Mittelwert beschreibt, wo die wahre Gerade bei x liegt; das Prognoseintervall gilt für einen einzelnen neuen Messwert und ist breiter.
- Ein hohes R² beweist keine Ursache: Es misst nur den linearen Zusammenhang. Prüfen Sie Streudiagramm und Residuen auf Ausreißer und Krümmung.
- Für den Zusammenhang ohne Vorhersage (Korrelation nach Pearson und Spearman) gibt es den Korrelationsrechner.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die lineare Regression?
Steigung m = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)² und Achsenabschnitt b = ȳ − m · x̄. Der Rechner macht das für beliebig viele Wertepaare und zeigt den Rechenstand in der Tabelle.
Was sagt R² bei der Regression aus?
R², das Bestimmtheitsmaß, ist der Anteil der Streuung von y, den die Gerade erklärt. R² = 0,85 heißt: 85 % der Streuung gehen auf den linearen Zusammenhang zurück.
Wie macht man eine Prognose mit der Regressionsgeraden?
Das gewünschte x in y = m · x + b einsetzen. Der Rechner tut das im Feld „Prognose für x“ und nennt zusätzlich das 95-%-Intervall für den Mittelwert und für einen einzelnen Wert.
Wie viele Wertepaare braucht man?
Mindestens drei für Standardfehler und Intervalle, mit zwei Punkten verläuft die Gerade nur exakt hindurch. Je mehr Paare, desto verlässlicher die Schätzung.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Linear Least Squares Regression
- Wikipedia – Einfache lineare Regression (Formeln, Standardfehler, Konfidenz- und Prognoseintervall)
- Wikipedia – Simple linear regression (confidence and prediction intervals)
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
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- Lineare Interpolation RechnerLineare Interpolation Rechner: y-Wert zu einem x zwischen zwei bekannten Punkten bestimmen, mit Geradengleichung, Umkehrung nach x und Rechenweg.
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