DE

Residuen berechnen

Hier können Sie Residuen berechnen: Tragen Sie x- und y-Werte ein, der Rechner legt die Regressionsgerade durch die Punkte. Beispiel: x = 1 bis 6 und y = 2,1 bis 11,6 ergeben ŷ = 1,95143 · x + 0,153333, das größte Residuum ist 0,389524.

Quelle: Wikipedia – Errors and residuals. Stand: .

Durch Leerzeichen oder Semikolon trennen; Dezimalkomma ist erlaubt.
Durch Leerzeichen oder Semikolon trennen; Dezimalkomma ist erlaubt.
Meine ToolboxIhre Eingaben werden nur in diesem Browser gespeichert.

Ergebnis

Ergebnis
Regressionsgerade ŷ = 1,95143 · x + 0,153333; größtes Residuum 0,389524 bei x = 5
Residuentabelle
xyVorhersage ŷResiduum e = y − ŷ
12,12,10476-0,0047619
23,94,05619-0,15619
36,26,007620,192381
47,87,95905-0,159048
510,39,910480,389524
611,611,8619-0,261905
Kennzahlen
GrößeWert
Anzahl Paare n6
Steigung b₁1,95143
Achsenabschnitt b₀0,153333
Summe der Residuen Σe0
Quadratsumme der Residuen SSE0,307048
Reststandardfehler s = √(SSE / (n − 2))0,277059
Bestimmtheitsmaß R²0,995414
Rechenweg
  • Mittelwerte: x̄ = 3,5, ȳ = 6,98333; Σ(x − x̄)² = 17,5, Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34,15.
  • b₁ = 34,15 / 17,5 = 1,95143; b₀ = 6,98333 − 1,95143 · 3,5 = 0,153333.
  • Erstes Paar: ŷ = 2,10476, Residuum e = 2,1 − 2,10476 = -0,0047619.
Die Residuen summieren sich bei der Kleinste-Quadrate-Geraden zu 0. Ein Muster in den Residuen (Bogen, Trichter) zeigt, dass eine Gerade nicht passt oder die Streuung nicht konstant ist; bei einem Bogen hilft die quadratische Regression.

So wird gerechnet

Ein Residuum ist der Rest, den die Regressionsgerade übrig lässt: die Differenz zwischen gemessenem y und vorhergesagtem ŷ. Residuen zeigen, wie gut eine Gerade zu den Daten passt.

Formeln und Rechenweg

Zuerst werden die Mittelwerte x̄ und ȳ bestimmt. Die Steigung ist b₁ = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)², der Achsenabschnitt b₀ = ȳ − b₁ · x̄. Für jeden Punkt ist ŷ = b₀ + b₁ · x und das Residuum e = y − ŷ. Die Quadratsumme SSE = Σe² wird durch n − 2 geteilt; die Wurzel daraus ist der Reststandardfehler s. Bei der Methode der kleinsten Quadrate gilt immer Σe = 0.

Durchgerechnetes Beispiel

Für x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 und y = 2,1; 3,9; 6,2; 7,8; 10,3; 11,6 ist x̄ = 3,5 und ȳ = 6,98333. Es ergibt sich Σ(x − x̄)² = 17,5 und Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34,15, also b₁ = 34,15 / 17,5 = 1,95143 und b₀ = 0,153333. Für x = 5 ist ŷ = 9,91048 und das Residuum 10,3 − 9,91048 = 0,389524, das größte der Reihe. SSE ist 0,307048, der Reststandardfehler 0,277059 und R² = 0,995414.

Häufige Fragen

Wie berechnet man ein Residuum?

Residuum = gemessener y-Wert − vorhergesagter Wert ŷ auf der Regressionsgeraden. Für x = 5 ist es 10,3 − 9,91048 = 0,389524.

Warum ist die Summe der Residuen null?

Die Kleinste-Quadrate-Gerade verläuft durch den Schwerpunkt (x̄ | ȳ); die Abweichungen darüber und darunter gleichen sich daher exakt aus.

Was sagt ein Residuenmuster aus?

Liegen die Residuen zufällig um null, passt die Gerade. Ein Bogen deutet auf einen gekrümmten Zusammenhang, ein Trichter auf wachsende Streuung.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: · So prüfen wir

Passende Werkzeuge