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二次回帰の計算

二次回帰の計算では、xとyの値に最もよく合う放物線を求めます。たとえば x = 0〜5、y = 1、2.8、6.1、10.8、17.2、24.5 では ŷ = 0.7125 × x² + 1.16321 × x + 0.960714、R² = 0.999876 になります。

出典：Wikipedia – Polynomial regression。更新日：

スペースまたはセミコロンで区切ってください。カンマも区切りとして扱われるため、小数にはカンマでなく小数点（2.5）を使ってください。
スペースまたはセミコロンで区切ってください。カンマも区切りとして扱われるため、小数にはカンマでなく小数点（2.5）を使ってください。
予測が不要なら空欄のままにしてください。
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結果

結果
放物線 ŷ = 0.7125 · x² + 1.16321 · x + 0.960714（R² = 0.999876、n = 6）
主な値
項目値
係数 a（x²）0.7125
係数 b（x）1.16321
定数 c0.960714
決定係数 R²0.999876
残差平方和 SSE0.0509286
頂点(-0.816291 | 0.485954) – 最小値
x = 6 での予測33.59
データと当てはめ
xy当てはめ値 ŷ残差 y − ŷ
010.9607140.0392857
12.82.83643-0.0364286
26.16.13714-0.0371429
310.810.8629-0.0628571
417.217.01360.186429
524.524.5893-0.0892857
計算手順
  • モデル y = a × x² + b × x + c。各和から正規方程式を作ります：n = 6、Σx = 15、Σx² = 55、Σx³ = 225、Σx⁴ = 979、Σy = 62.4、Σxy = 238.7、Σx²y = 1,012.1。
  • 3元連立方程式を解くと a = 0.7125、b = 1.16321、c = 0.960714 です。
  • 頂点：x = −b / (2a) = -0.816291、y = 0.485954。
  • 予測：ŷ(6) = 0.7125 × 6² + 1.16321 × 6 + 0.960714 = 33.59。
x の値の範囲外での予測（外挿）は、放物線がすぐに急になるため不確かです。R² が1に近くても関係の証明にはならず、当てはまりの良さを示すだけです。

計算方法

二次回帰は、関係が曲線的で直線では足りないときに、データ点へ放物線 y = a × x² + b × x + c を当てはめる方法です。

方法と手順

測定した y と放物線との距離の二乗和が最小になるように a、b、c を求めます（最小二乗法）。和 Σx、Σx²、Σx³、Σx⁴、Σy、Σxy、Σx²y から3つの式をもつ連立方程式ができ、ツールがそれを解きます。決定係数 R² = 1 − SSE / SST は、放物線が y のばらつきのどれだけを説明するかを表します。頂点は x = −b / (2a) にあります。

計算例

x = 0、1、2、3、4、5、y = 1、2.8、6.1、10.8、17.2、24.5 では、n = 6、Σx = 15、Σx² = 55、Σx³ = 225、Σx⁴ = 979 です。連立方程式から a = 0.7125、b = 1.16321、c = 0.960714 となり、ŷ = 0.7125 × x² + 1.16321 × x + 0.960714、R² = 0.999876 です。x = 6 での予測は 0.7125 × 36 + 1.16321 × 6 + 0.960714 = 33.59。頂点は x = −0.816291、y = 0.485954 にあり、a > 0 なので最小値です。

よくある質問

二次回帰はどう計算しますか。

偏差の二乗和が最小になる a、b、c を求めます。Σx から Σx⁴、Σy、Σxy、Σx²y までの和で作る連立方程式を解きます。

線形回帰より二次回帰が向くのはいつですか。

直線の残差が曲線状になるときや、制動距離や投射の軌道のようにデータが明らかに曲がっているときです。

頂点は何を表しますか。

放物線の最も低い点または高い点で、x = −b / (2a) にあります。この例では x = −0.816291 で、測定値の範囲の外です。

出典・根拠

更新日： · 編集方針

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