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Polynomdivision Rechner

Der Polynomdivision Rechner teilt zwei Polynome Schritt für Schritt und zeigt Quotient, Rest und Probe. Beispiel: (x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6. Im zweiten Modus findet er alle Nullstellen.

Quelle: Wolfram MathWorld – Polynomdivision (englisch). Stand: .

z. B. x^3 - 6x^2 + 11x - 6; Hochzahl mit ^ oder ², Brüche als 1/2x oder 0,5x
z. B. x - 1 oder x^2 + 1
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Ergebnis

Ergebnis (Quotient bzw. Nullstellen)
x² − 5x + 6
Rest
0
Gleichung
(x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1) = x² − 5x + 6
Probe
(x² − 5x + 6) · (x − 1) + 0 = x³ − 6x² + 11x − 6
Rechenweg
  • + x² → x² · (x − 1) = x³ − x² → −5x² + 11x − 6
  • + −5x → −5x · (x − 1) = −5x² + 5x → 6x − 6
  • + 6 → 6 · (x − 1) = 6x − 6 → 0
Horner-Schema (bei Divisor x − a)
x³x²x1
Koeffizienten1−611−6
Produkt (a = 1)1−56
Summe1−560

So wird gerechnet

Die Polynomdivision teilt ein Polynom durch ein anderes, ähnlich wie die schriftliche Division bei Zahlen. Sie liefert einen Quotienten und einen Rest, dessen Grad kleiner ist als der des Divisors. Geht die Division ohne Rest auf, ist der Divisor ein Faktor des Polynoms.

So rechnet man

  1. Höchstes Glied des Dividenden durch das höchste Glied des Divisors teilen: x³ : x = x².
  2. Das Ergebnis mit dem ganzen Divisor multiplizieren und vom Dividenden abziehen.
  3. Mit dem Rest wiederholen, bis sein Grad kleiner als der des Divisors ist.
  4. Probe: Quotient · Divisor + Rest = Dividend.

Beispiel

(x³ − 6x² + 11x − 6) : (x − 1): x³ : x = x²; x² · (x − 1) = x³ − x²; Rest −5x² + 11x − 6. Dann −5x, danach 6. Ergebnis x² − 5x + 6, Rest 0. Wegen des fehlenden Rests ist x = 1 eine Nullstelle.

Nullstellen mit Polynomdivision

Ist eine Nullstelle bekannt, teilt man durch den Linearfaktor (x − Nullstelle) und erhält ein Polynom niedrigeren Grades. Ganzzahlige Kandidaten sind Teiler des Absolutglieds; bei Brüchen hilft der Satz über rationale Nullstellen. Der Rechner prüft alle Kandidaten, spaltet die Nullstellen nacheinander ab und löst den Rest, bei Grad 2 mit der Mitternachtsformel.

Horner-Schema

Bei einem Divisor der Form (x − a) geht es kürzer mit dem Horner-Schema: Koeffizienten untereinander, den Wert mit a multiplizieren und zum nächsten Koeffizienten addieren. Der letzte Wert ist der Rest und zugleich p(a).

Häufige Fragen

Wie funktioniert die Polynomdivision?

Man teilt das höchste Glied des Dividenden durch das höchste Glied des Divisors, multipliziert das Ergebnis mit dem Divisor, zieht ab und wiederholt das mit dem Rest, bis dessen Grad kleiner als der des Divisors ist.

Was bedeutet Rest 0 bei der Polynomdivision?

Dann ist der Divisor ein Faktor des Polynoms. Ist der Divisor (x − a), ist a eine Nullstelle des Polynoms.

Wie finde ich die erste Nullstelle für die Polynomdivision?

Durch Probieren der Teiler des Absolutglieds (bei ganzzahligen Koeffizienten): Setzen Sie ±1, ±2, ±3 … ein, bis der Wert 0 ergibt. Der Rechner erledigt diese Suche automatisch, auch für Brüche.

Was ist das Horner-Schema?

Eine Kurzform der Polynomdivision durch (x − a): Man schreibt die Koeffizienten auf, multipliziert fortlaufend mit a und addiert. Die Summen sind die Koeffizienten des Quotienten, der letzte Wert ist der Rest.

Kann der Rechner auch mit Brüchen und Dezimalzahlen rechnen?

Ja. Eingaben wie 0,5x^2 − 1/3 werden exakt als Brüche verarbeitet, sodass Quotient und Rest ohne Rundungsfehler erscheinen.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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