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Standardabweichung, Mittelwert und Median berechnen

Fügen Sie Ihre Werte ein – getrennt durch Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch. Der Rechner zeigt alle wichtigen Kennzahlen der beschreibenden Statistik samt Lösungsweg.

Komma = Dezimalkomma (2,5). Werte trennen mit Leerzeichen, Semikolon oder neuer Zeile; „1, 2, 3“ (Komma mit Leerzeichen) geht auch. Spalten aus Excel lassen sich direkt einfügen.

Ergebnis

Mittelwert (arithmetisches Mittel)
5
Anzahl der Werte (n)
8
Summe
40
Median
4,5
Modus (häufigster Wert)
4 (3-mal)
Minimum
2
Maximum
9
Spannweite
7
Standardabweichung Stichprobe (s, n − 1)
2,13809
Varianz Stichprobe (s², n − 1)
4,571429
Standardabweichung Grundgesamtheit (σ, n)
2
Varianz Grundgesamtheit (σ², n)
4
Quartile
Q1 = 4 · Q3 = 5,5 · Quartilsabstand = 1,5
Sortierte Werte
2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9
Rechenweg
  • Anzahl n = 8, Summe Σx = 40
  • Mittelwert x̄ = Σx / n = 40 / 8 = 5
  • Median: Werte sortieren, Mittel aus 4. und 5. Wert = (4 + 5) / 2 = 4,5
  • Summe der Abweichungsquadrate Σ(x − x̄)² = (2 − 5)² + (4 − 5)² + (4 − 5)² + (4 − 5)² + (5 − 5)² + (5 − 5)² + (7 − 5)² + (9 − 5)² = 32
  • Stichprobe: s² = 32 / (n − 1) = 32 / 7 = 4,571429; s = √4,571429 = 2,13809
  • Grundgesamtheit: σ² = 32 / n = 32 / 8 = 4; σ = √4 = 2
  • Spannweite = Maximum − Minimum = 9 − 2 = 7

So wird gerechnet

So rechnet der Statistik-Rechner

Für eine Liste von n Werten x1, …, xn gelten die Definitionen des NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods:

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Haben Sie alle Werte, die Sie beschreiben wollen (z. B. die Noten aller 25 Schüler einer Klasse), teilen Sie durch n. Sind die Werte nur eine Auswahl, aus der Sie auf eine größere Menge schließen (z. B. 50 befragte Kunden), teilen Sie durch n − 1 (Bessel-Korrektur). In Excel entspricht das STABW.S bzw. STABW.N.

Beispiel

Werte: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Summe 40, Mittelwert 40 / 8 = 5. Sortiert liegen in der Mitte 4 und 5, der Median ist 4,5. Der Modus ist 4 (dreimal). Abweichungsquadrate: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Grundgesamtheit: σ² = 32 / 8 = 4, σ = 2. Stichprobe: s² = 32 / 7 ≈ 4,5714, s ≈ 2,1381. Spannweite 9 − 2 = 7.

Quartile

Q1 und Q3 werden durch lineare Interpolation berechnet (wie QUARTILE.INKL in Excel und Standard in R). Schulbücher nutzen teils andere Verfahren, deshalb können Quartile um Nachkommastellen abweichen.

Die Rechnung ist numerisch stabil (zweistufiges Verfahren mit Korrektur) und stimmt mit den zertifizierten NIST-Referenzdatensätzen überein – auch bei großen Zahlen mit kleiner Streuung.

Häufige Fragen

Wann teile ich durch n und wann durch n − 1?

Durch n, wenn Ihre Daten die komplette Grundgesamtheit sind. Durch n − 1, wenn es eine Stichprobe ist und Sie die Streuung der Gesamtheit schätzen wollen. Im Zweifel – etwa bei Messreihen oder Umfragen – ist n − 1 üblich.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten (z. B. cm), die Varianz dagegen die quadrierte Einheit (cm²). Zum Interpretieren nimmt man daher meist die Standardabweichung.

Was bedeutet „kein Modus“?

Kommt jeder Wert gleich oft vor (z. B. jeder genau einmal), ist kein Wert häufiger als die anderen – dann gibt es keinen Modus. Haben mehrere Werte dieselbe höchste Häufigkeit, werden alle angezeigt (bimodal bzw. multimodal).

Mittelwert oder Median – was ist aussagekräftiger?

Der Median ist robust gegen Ausreißer: Bei 1, 2, 3, 4, 100 ist der Mittelwert 22, der Median 3. Bei schiefen Verteilungen wie Einkommen beschreibt der Median die Mitte besser.

Wie gebe ich Dezimalzahlen ein?

Mit Komma, z. B. 2,5. Trennen Sie die Werte dann mit Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch. Punkte in Zahlen wie 1.500 werden als Tausendertrennzeichen gelesen.

Warum weichen meine Quartile vom Schulbuch ab?

Für Quartile gibt es mehrere gebräuchliche Definitionen. Der Rechner nutzt die lineare Interpolation wie Excel (QUARTILE.INKL). Mittelwert, Median, Varianz und Standardabweichung sind dagegen eindeutig definiert.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand:

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