Standardabweichung, Mittelwert und Median berechnen

Fügen Sie Ihre Werte ein – getrennt durch Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch. Der Rechner für die Standardabweichung zeigt alle wichtigen Kennzahlen der beschreibenden Statistik samt Lösungsweg.

Quelle: Abschn. 1.3.5.1, NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Lagemaße (Mittelwert, Median, Modus), englisch. Stand: 5. Oktober 2026.

Zahlenliste

Komma = Dezimalkomma (2,5). Werte trennen mit Leerzeichen, Semikolon oder neuer Zeile; „1, 2, 3“ (Komma mit Leerzeichen) geht auch. Spalten aus Excel lassen sich direkt einfügen.

Art der Eingabe

Häufigkeitstabelle: je Zeile ein Wert und wie oft er vorkommt, z. B. „4 3“ für dreimal die 4. Zwei Spalten aus Excel lassen sich direkt einfügen.

Daten sind

z-Wert für x (optional)

Ein Wert x, dessen Abstand vom Mittelwert in Standardabweichungen berechnet wird.

Meine ToolboxIhre Eingaben werden nur in diesem Browser gespeichert.

Ergebnis

Standardabweichung: s = 2,13809
Varianz: s² = 4,571429
Mittelwert (arithmetisches Mittel): 5
Anzahl der Werte (n): 8
Summe: 40
Median: 4,5
Modus (häufigster Wert): 4 (3-mal)
Minimum: 2
Maximum: 9
Spannweite: 7
Variationskoeffizient: 42,76 %
Standardfehler des Mittelwerts (s / √n): 0,755929
Standardabweichung Stichprobe (s, n − 1): 2,13809
Varianz Stichprobe (s², n − 1): 4,571429
Standardabweichung Grundgesamtheit (σ, n): 2
Varianz Grundgesamtheit (σ², n): 4
Quartile: Q1 = 4 · Q3 = 5,5 · Quartilsabstand = 1,5
Ausreißer (1,5 × Quartilsabstand): 1 außerhalb von 1,75 bis 7,75: 9
z-Wert: –
Rechenweg als Tabelle: i xᵢ xᵢ − x̄ (xᵢ − x̄)² z
1 2 −3 9 −1,4031
2 4 −1 1 −0,4677
3 4 −1 1 −0,4677
4 4 −1 1 −0,4677
5 5 0 0 0
6 5 0 0 0
7 7 2 4 0,9354
8 9 4 16 1,8708
Σ 40 0 32
Sortierte Werte: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9
Rechenweg: Anzahl n = 8, Summe Σx = 40
Mittelwert x̄ = Σx / n = 40 / 8 = 5
Median: Werte sortieren, Mittel aus 4. und 5. Wert = (4 + 5) / 2 = 4,5
Summe der Abweichungsquadrate Σ(x − x̄)² = (2 − 5)² + (4 − 5)² + (4 − 5)² + (4 − 5)² + (5 − 5)² + (5 − 5)² + (7 − 5)² + (9 − 5)² = 32
Stichprobe: s² = 32 / (n − 1) = 32 / 7 = 4,571429; s = √4,571429 = 2,13809
Grundgesamtheit: σ² = 32 / n = 32 / 8 = 4; σ = √4 = 2
Spannweite = Maximum − Minimum = 9 − 2 = 7

i	xᵢ	xᵢ − x̄	(xᵢ − x̄)²	z
1	2	−3	9	−1,4031
2	4	−1	1	−0,4677
3	4	−1	1	−0,4677
4	4	−1	1	−0,4677
5	5	0	0	0
6	5	0	0	0
7	7	2	4	0,9354
8	9	4	16	1,8708
Σ	40	0	32

So wird gerechnet

So rechnet der Statistik-Rechner

Für eine Liste von n Werten x₁, …, x_n gelten die Definitionen des NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods:

Standardabweichung berechnen – so geht's

Werte ins Feld „Zahlenliste“ einfügen – getrennt durch Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch; eine Excel-Spalte lässt sich direkt einfügen.
Klären, ob Ihre Werte eine Stichprobe (Teilen durch n − 1) oder die Grundgesamtheit (Teilen durch n) sind – der Rechner zeigt beide Ergebnisse.
Mittelwert, Median, Modus, Varianz, Standardabweichung und Quartile samt Rechenweg ablesen.

Mittelwert: x̄ = (x₁ + … + x_n) / n
Median: der mittlere Wert der sortierten Liste; bei gerader Anzahl der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
Modus: der Wert, der am häufigsten vorkommt. Es kann mehrere Modi geben; kommen alle Werte gleich oft vor, gibt es keinen Modus.
Spannweite: Maximum − Minimum.
Varianz der Stichprobe: s² = Σ(x − x̄)² / (n − 1), Standardabweichung s = √s².
Varianz der Grundgesamtheit: σ² = Σ(x − x̄)² / n, σ = √σ².

Stichprobe oder Grundgesamtheit?

Haben Sie alle Werte, die Sie beschreiben wollen (z. B. die Noten aller 25 Schüler einer Klasse), teilen Sie durch n. Sind die Werte nur eine Auswahl, aus der Sie auf eine größere Menge schließen (z. B. 50 befragte Kunden), teilen Sie durch n − 1 (Bessel-Korrektur). In Excel entspricht das STABW.S bzw. STABW.N.

Beispiel

Werte: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8). Summe 40, Mittelwert 40 / 8 = 5. Sortiert liegen in der Mitte 4 und 5, der Median ist 4,5. Der Modus ist 4 (dreimal). Abweichungsquadrate: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Grundgesamtheit: σ² = 32 / 8 = 4, σ = 2. Stichprobe: s² = 32 / 7 ≈ 4,5714, s ≈ 2,1381. Spannweite 9 − 2 = 7.

Quartile

Q1 und Q3 werden durch lineare Interpolation berechnet (wie QUARTILE.INKL in Excel und Standard in R). Schulbücher nutzen teils andere Verfahren, deshalb können Quartile um Nachkommastellen abweichen.

Die Rechnung ist numerisch stabil (zweistufiges Verfahren mit Korrektur) und stimmt mit den zertifizierten NIST-Referenzdatensätzen überein – auch bei großen Zahlen mit kleiner Streuung.

Weitere Rechner rund um Zahlenreihen: gewichtete Schnitte mit dem Notendurchschnitt-Rechner, Anteile und Abweichungen in Prozent mit dem Prozentrechner, und sinnvoll gerundete Ergebnisse mit dem Rechner für signifikante Stellen.

Häufigkeitstabelle, z-Wert, Variationskoeffizient und Boxplot

Liegen Ihre Daten als Häufigkeitstabelle vor, stellen Sie „Art der Eingabe“ um und schreiben je Zeile Wert und Häufigkeit: Die Zeilen „2 1“, „4 3“, „5 2“, „7 1“, „9 1“ sind dieselben acht Werte wie im Beispiel oben und ergeben wieder x̄ = 5 und s ≈ 2,1381. Die Rechenweg-Tabelle zeigt dann die Spalten f · x und f · (x − x̄)².

Der z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: z = (x − x̄) / s. Für x = 9 im Beispiel: (9 − 5) / 2,1381 ≈ 1,8708. Der Variationskoeffizient setzt die Streuung ins Verhältnis zum Mittelwert: 2,1381 / 5 ≈ 42,76 %. Der Standardfehler ist s / √n = 2,1381 / √8 ≈ 0,7559.

Der Boxplot zeigt Q1, Median und Q3 als Kasten. Als Ausreißer gelten Werte, die mehr als das 1,5-Fache des Quartilsabstands unter Q1 oder über Q3 liegen (Regel nach Tukey) – im Beispiel alles außerhalb von 1,75 bis 7,75, also die 9.

Einzelne Kennzahlen ausführlicher: Standardfehler, Variationskoeffizient, Quartile mit vier Methoden und Mittelwert.

Häufige Fragen

Wann teile ich durch n und wann durch n − 1?

Durch n, wenn Ihre Daten die komplette Grundgesamtheit sind. Durch n − 1, wenn es eine Stichprobe ist und Sie die Streuung der Gesamtheit schätzen wollen. Im Zweifel – etwa bei Messreihen oder Umfragen – ist n − 1 üblich.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Sie hat dieselbe Einheit wie die Daten (z. B. cm), die Varianz dagegen die quadrierte Einheit (cm²). Zum Interpretieren nimmt man daher meist die Standardabweichung.

Was bedeutet „kein Modus“?

Kommt jeder Wert gleich oft vor (z. B. jeder genau einmal), ist kein Wert häufiger als die anderen – dann gibt es keinen Modus. Haben mehrere Werte dieselbe höchste Häufigkeit, werden alle angezeigt (bimodal bzw. multimodal).

Mittelwert oder Median – was ist aussagekräftiger?

Der Median ist robust gegen Ausreißer: Bei 1, 2, 3, 4, 100 ist der Mittelwert 22, der Median 3. Bei schiefen Verteilungen wie Einkommen beschreibt der Median die Mitte besser.

Wie gebe ich Dezimalzahlen ein?

Mit Komma, z. B. 2,5. Trennen Sie die Werte dann mit Leerzeichen, Semikolon oder Zeilenumbruch. Punkte in Zahlen wie 1.500 werden als Tausendertrennzeichen gelesen.

Warum weichen meine Quartile vom Schulbuch ab?

Für Quartile gibt es mehrere gebräuchliche Definitionen. Der Rechner nutzt die lineare Interpolation wie Excel (QUARTILE.INKL). Mittelwert, Median, Varianz und Standardabweichung sind dagegen eindeutig definiert.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: 5. Oktober 2026 · So prüfen wir