Weibull-Verteilung berechnen
Der Rechner wertet die Weibull-Verteilung mit zwei Parametern an einer Stelle x aus und liefert die üblichen Kennwerte der Zuverlässigkeit bis zur B10-Lebensdauer.
Beispiel: Formparameter k (β) 2 · Skalenparameter λ (η) 10 · Stelle x (z. B. Zeit oder Last) 5 · Wahrscheinlichkeit für das Quantil (%) 10 → Ergebnis: F(5) = 0,221199, f(5) = 0,0778801. Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.8 Weibull Distribution: pdf, cdf, hazard function, percent point function, mean Γ((γ+1)/γ), median ln(2)^(1/γ), mode and standard deviation (read 14.10.2026). Stand: .
So wird gerechnet
Die Weibull-Verteilung hat die Verteilungsfunktion F(x) = 1 − e^(−(x/λ)^k) und die Dichte f(x) = (k/λ)·(x/λ)^(k−1)·e^(−(x/λ)^k). Mit k = 2, λ = 10 und x = 5 ist die Ausfallwahrscheinlichkeit bis x gleich 0,221199, die Dichte 0,0778801.
Formeln
- Zuverlässigkeit (Überleben): R(x) = 1 − F(x) = e^(−(x/λ)^k)
- Ausfallrate: h(x) = f(x)/R(x) = (k/λ)·(x/λ)^(k−1)
- Mittelwert: λ·Γ(1 + 1/k), Median: λ·(ln 2)^(1/k)
- Modus: λ·((k − 1)/k)^(1/k) für k > 1, sonst 0
- Standardabweichung: λ·√(Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)²)
- Quantil: x_p = λ·(−ln(1 − p))^(1/k); bei p = 10 % ist das die B10-Lebensdauer.
An der Stelle x = λ ist F immer 1 − e^(−1) ≈ 0,632121, egal wie groß k ist – deshalb heißt λ charakteristische Lebensdauer. Mit k = 1 wird die Weibull-Verteilung zur Exponentialverteilung, mit k = 2 zur Rayleigh-Verteilung.
Einfluss des Formparameters (λ = 10, x = 5)
| k | F(5) | Mittelwert | Median | B10 |
|---|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,506931 | 20 | 4,80453 | 0,111008 |
| 1 | 0,393469 | 10 | 6,931472 | 1,053605 |
| 2 | 0,221199 | 8,862269 | 8,325546 | 3,245928 |
| 3,5 | 0,084595 | 8,997472 | 9,005785 | 5,257328 |
Ein kleines k streut die Ausfälle weit: Bei k = 0,5 fällt die Hälfte vor 4,80453 aus, obwohl der Mittelwert 20 beträgt. Ein großes k bündelt sie um λ. Verwandt: Normalverteilung und Poisson-Verteilung.
Grenzen
Das Tool nutzt die zweiparametrige Form (Lageparameter μ = 0). Es wertet die Verteilung für bekannte Parameter aus; k und λ aus Ausfalldaten schätzt es nicht.
Häufige Fragen
Was bedeuten k und λ bei der Weibull-Verteilung?
k ist der Formparameter: unter 1 sinkt die Ausfallrate, bei 1 ist sie konstant, über 1 steigt sie. λ ist die charakteristische Lebensdauer: bis x = λ sind 63,2 % ausgefallen.
Wie berechne ich F(x) der Weibull-Verteilung?
F(x) = 1 − e^(−(x/λ)^k). Für k = 2, λ = 10, x = 5: 1 − e^(−0,25) ≈ 0,221199.
Wie groß ist der Erwartungswert der Weibull-Verteilung?
λ·Γ(1 + 1/k). Für k = 2 und λ = 10 sind das 10·Γ(1,5) ≈ 8,862269.
Was ist die B10-Lebensdauer?
Die Zeit, bis 10 % der Einheiten ausgefallen sind: λ·(−ln 0,9)^(1/k). Für k = 2, λ = 10 rund 3,245928.
Ist die Exponentialverteilung eine Weibull-Verteilung?
Ja, mit k = 1 wird die Weibull-Verteilung zur Exponentialverteilung mit Mittelwert λ.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.8 Weibull Distribution: pdf, cdf, hazard function, percent point function, mean Γ((γ+1)/γ), median ln(2)^(1/γ), mode and standard deviation (read 14.10.2026)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: gamma function Γ(z) used for mean and standard deviation (read 14.10.2026)
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