Fakultät berechnen
Mit diesem Rechner können Sie die Fakultät berechnen: n! wird exakt mit allen Stellen ausgegeben, bis n = 5.000. Die Fakultät von 25 hat 26 Stellen, die von 100 sogar 158 – mehr, als jeder Taschenrechner anzeigt. Dazu gibt es Endnullen, wissenschaftliche Schreibweise und die Stirling-Näherung.
Beispiel: Was möchten Sie berechnen: Fakultät n! · Zahl n 25 → Ergebnis: 25! = 15.511.210.043.330.985.984.000.000. Quelle: Wikipedia – Fakultät (Mathematik): Definition, 0! = 1, Wachstum, Anwendungen. Stand: .
So wird gerechnet
Fakultät berechnen – so geht's
Die Fakultät n! ist das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Per Definition ist 0! = 1. Beispiele: 5! = 120, 10! = 3.628.800 und 20! = 2.432.902.008.176.640.000.
Warum die Zahlen so schnell wachsen
Bei jedem Schritt wird mit einer größeren Zahl multipliziert. 25! hat 26 Stellen, 70! übersteigt mit 1,198 × 10100 schon ein Googol, und 100! hat 158 Stellen. Viele Taschenrechner zeigen deshalb nur bis 69! an. Dieser Rechner nutzt Ganzzahlen beliebiger Größe (BigInt) und liefert jede Stelle exakt.
Endnullen und Näherung
- Endnullen: Jede Null am Ende entsteht aus einem Faktorenpaar 2 · 5. Es gibt ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + … davon; 100! endet auf 24 Nullen.
- Stirling-Näherung: n! ≈ √(2πn) · (n/e)n. Der relative Fehler beträgt etwa 1 ÷ (12n), bei n = 10 rund 0,83 %.
Wozu die Fakultät gebraucht wird
Sie zählt Anordnungen: Fünf Personen lassen sich auf 5! = 120 Arten in eine Reihe stellen. Sie steckt in den Formeln der Kombinatorik (n über k) und in Wahrscheinlichkeitsrechnung und Reihenentwicklungen.
Ehrliche Grenzen
Berechnet wird die Fakultät ganzer Zahlen bis 5.000. Die Gamma-Funktion für Dezimalzahlen und die doppelte Fakultät sind nicht enthalten. Sehr lange Ergebnisse werden ab 2.000 Stellen gekürzt angezeigt (Anfang und Ende), die Stellenzahl bleibt exakt.
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Fakultät?
Alle ganzen Zahlen von 1 bis n miteinander multiplizieren. 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
Was ist 0 Fakultät?
0! ist per Definition 1. Das passt zur Regel n! = n · (n − 1)! und zu einer einzigen Anordnung von null Elementen.
Wie viele Stellen hat 100 Fakultät?
158 Stellen; die Zahl beginnt mit 9,33 × 10^157 und endet auf 24 Nullen.
Wie berechne ich die Fakultät mit dem Taschenrechner?
Bei Casio mit der Taste x! (Shift + x⁻¹). Die meisten Geräte zeigen nur bis 69! an, weil 70! größer als 10^100 ist.
Wie rechne ich Fakultät in Python oder Java?
In Python genügt math.factorial(n), in Java braucht man für große n die Klasse BigInteger. Mit diesem Rechner sehen Sie das Ergebnis ohne Programmieren.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- Wikipedia – Fakultät (Mathematik): Definition, 0! = 1, Wachstum, Anwendungen
- Wikipedia – Stirling’s approximation (n! ≈ √(2πn)·(n/e)^n)
- MDN – BigInt (Ganzzahlen beliebiger Größe in JavaScript)
Stand: · So prüfen wir
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