Fröhliche Zahlen prüfen

Fröhliche Zahlen (auch glückliche Zahlen, englisch happy numbers) erreichen die 1, wenn man immer wieder die Summe der Quadrate ihrer Ziffern bildet. Geben Sie eine ganze Zahl ein: Der Rechner zeigt jeden Schritt, sagt, ob die Zahl fröhlich oder traurig ist, und listet alle fröhlichen Zahlen bis zu einer Grenze auf.

Quelle: OEIS A007770, Happy numbers: trajectory under the sum of squares of digits map (A003132) includes 1; b-file with 143 071 terms up to 1 000 000 (read 15.10.2026). Stand: 15. Oktober 2026.

Zu prüfende Zahl

Eine ganze Zahl von 1 bis 9.007.199.254.740.991.

Fröhliche Zahlen auflisten bis

Höchstens 1.000.000.

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Ergebnis

Ergebnis: 19 ist eine fröhliche Primzahl – sie erreicht nach 4 Schritten die 1.
Rechenweg: Schritt Summe der Ziffernquadrate
1 1² + 9² = 82
2 8² + 2² = 68
3 6² + 8² = 100
4 1² + 0² + 0² = 1
Fröhliche Zahlen: 20 fröhliche Zahlen bis 100: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100; Berechnet durch wiederholtes Bilden der Summe der Ziffernquadrate (OEIS A007770), bis das Ergebnis 1 ist.

Schritt	Summe der Ziffernquadrate
1	1² + 9² = 82
2	8² + 2² = 68
3	6² + 8² = 100
4	1² + 0² + 0² = 1

So wird gerechnet

Eine fröhliche Zahl erreicht die 1, wenn man sie immer wieder durch die Summe der Quadrate ihrer Ziffern ersetzt. 19 ist fröhlich: 1² + 9² = 82, 8² + 2² = 68, 6² + 8² = 100, 1² + 0² + 0² = 1. Alle anderen Zahlen enden im Zyklus 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 und heißen traurig. Statt fröhlich und traurig liest man auch glücklich und unglücklich (nach dem englischen happy number).

Beispiele

Zahl	Folge	Ergebnis
7	7 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1	fröhlich nach 5 Schritten
19	19 → 82 → 68 → 100 → 1	fröhlich nach 4 Schritten
23	23 → 13 → 10 → 1	fröhlich nach 3 Schritten
4	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4	traurig (Zyklus)

Die Zahl der Schritte heißt Höhe. Reihenfolge der Ziffern und Nullen spielen keine Rolle, denn die Quadratsumme bleibt gleich: 19, 91 und 109 sind alle fröhlich.

Wie viele gibt es?

20 fröhliche Zahlen bis 100: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100.
143 im Zahlenraum bis 1.000 und 143.071 bis 1.000.000 (OEIS-b-Datei) – etwa jede siebte Zahl.
Fröhliche Primzahlen sind zugleich fröhlich und prim, etwa 7, 13, 19, 23 und 31.

Ähnliche Ziffern- und Folgenrätsel: die Collatz-Folge und die Quersumme.

Warum jede Zahl bei 1 oder im Zyklus landet

Eine Zahl mit vier oder mehr Stellen wird in einem Schritt immer kleiner (9999 ergibt nur 4 × 81 = 324). Die Folge bleibt also bald unter 1.000 und muss sich wiederholen. Prüft man dort alle Werte, gibt es nur zwei Enden: den Fixpunkt 1 oder den Zyklus aus acht Zahlen über die 4.

Häufige Fragen

Was ist eine fröhliche Zahl?

Eine Zahl, die die 1 erreicht, wenn man sie immer wieder durch die Summe der Quadrate ihrer Ziffern ersetzt. 7 ist fröhlich: 7 → 49 → 97 → 130 → 10 → 1.

Was sind traurige Zahlen?

Zahlen, die nie die 1 erreichen. Sie laufen alle in den Zyklus 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4; die 4 selbst ist also traurig.

Wie viele fröhliche Zahlen gibt es im Zahlenraum bis 1000?

143. Bis 100 sind es 20, von 1, 7 und 10 bis 97 und 100.

Was ist eine fröhliche Primzahl?

Eine Zahl, die fröhlich und zugleich eine Primzahl ist, zum Beispiel 7, 13, 19, 23, 31 und 79.

Ist 10 eine fröhliche Zahl?

Ja, schon nach einem Schritt: 1² + 0² = 1. Dasselbe gilt für 100, 1.000 und jede Zehnerpotenz.

Quellen und Rechtsgrundlagen

Stand: 15. Oktober 2026 · So prüfen wir