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Konfidenzintervall berechnen

Mit diesem Rechner können Sie das Konfidenzintervall berechnen, für einen Mittelwert oder für einen Anteil. Bei Mittelwert 50, Standardabweichung 10 und n = 30 liegt das 95-%-Konfidenzintervall zwischen 46,27 und 53,73.

Quelle: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – 1.3.5.2 Confidence Limits for the Mean. Stand: .

Die Standardabweichung der Stichprobe (mit n − 1 berechnet), nicht der Standardfehler.
Fast immer ist die Standardabweichung geschätzt: dann t-Verteilung. z nur, wenn sie aus Vorwissen feststeht.
Je höher das Niveau, desto breiter das Intervall. Üblich sind 95 %.
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Ergebnis

Konfidenzintervall
95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert: 46,266 bis 53,734
Weitere Werte
  • Standardfehler des Mittelwerts: 1,8257
  • t-Wert bei 29 Freiheitsgraden: 2,0452
  • Fehlerspanne (±): 3,7341
Rechenweg
50 ± 2,045 × 10 ÷ √30 = 50 ± 3,7341

So wird gerechnet

Konfidenzintervall berechnen – so geht es

Ein Konfidenzintervall sagt, in welchem Bereich der wahre Wert der Grundgesamtheit mit der gewählten Sicherheit liegt. Für den Mittelwert gilt: Mittelwert ± Quantil × s ÷ √n. Bei 30 Werten, Mittelwert 50 und s = 10 ist der Standardfehler 1,83, das t-Quantil (29 Freiheitsgrade, 95 %) 2,045, also ist die Fehlerspanne 3,73.

t oder z?

Kennen Sie die Standardabweichung der Grundgesamtheit nicht, schätzen Sie sie aus der Stichprobe und nehmen die t-Verteilung. Bei kleinem n ist deren Quantil größer, das Intervall also breiter. Erst bei großen Stichproben nähert sich t dem z-Wert 1,96 an.

Anteile: Wilson statt Faustformel

Für einen Anteil, etwa 45 von 100 Befragten, nutzt der Rechner das Wilson-Intervall. Es bleibt auch bei wenigen Treffern oder Anteilen nahe 0 und 100 % zulässig und trifft die Sicherheit besser als das einfache Wald-Intervall.

Was das Niveau bedeutet

95 % heißt: Würde man die Stichprobe sehr oft wiederholen, enthielten etwa 95 % der so berechneten Intervalle den wahren Wert. Es heißt nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit in genau diesem Intervall liegt. Um die Breite zu halbieren, braucht man viermal so viele Daten.

Grenzen

Das Intervall erfasst nur den Zufallsfehler, nicht Verzerrungen durch schlechte Stichprobenauswahl oder falsche Fragen. Es setzt unabhängige Beobachtungen voraus.

Häufige Fragen

Wie berechnet man ein Konfidenzintervall für den Mittelwert?

Mittelwert plus und minus t-Quantil mal Standardfehler. Der Standardfehler ist s geteilt durch die Wurzel aus n.

Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzintervall?

Bei häufiger Wiederholung der Erhebung enthalten rund 95 % der berechneten Intervalle den wahren Wert. Es ist keine Aussage über genau dieses eine Intervall.

Wann nehme ich die t-Verteilung und wann z?

Wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt wurde, nehmen Sie t. z passt nur bei bekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit.

Wie groß muss die Stichprobe sein, damit das Intervall schmaler wird?

Die Breite sinkt mit der Wurzel aus n. Für ein halb so breites Intervall brauchen Sie viermal so viele Beobachtungen.

Wie berechne ich das Konfidenzintervall für einen Anteil?

Wählen Sie „Anteil“, tragen Sie Treffer und Stichprobengröße ein. Der Rechner nutzt die Wilson-Formel und zeigt zum Vergleich das Wald-Intervall.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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