Mittlere Änderungsrate berechnen
Hier können Sie die mittlere Änderungsrate berechnen, entweder für eine Funktion ax² + bx + c auf einem Intervall oder aus zwei Punkten. Beispiel: f(x) = x² zwischen x = 1 und x = 4 hat die mittlere Änderungsrate (16 − 1) / 3 = 5.
Quelle: Wikipedia – Differenzenquotient. Stand: .
So wird gerechnet
Die mittlere Änderungsrate sagt, um wie viel sich eine Größe im Durchschnitt pro Einheit ändert, und ist die Steigung der Sekante durch zwei Punkte des Graphen. Sie heißt auch Differenzenquotient und ist der Vorläufer der Ableitung.
Formel und Rechenweg
Für zwei Punkte (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂) gilt m = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Bei einer Funktion berechnen Sie zuerst f(x₁) und f(x₂) und setzen diese als y-Werte ein. Zusätzlich liefert der Rechner die Sekantengleichung y = m·x + n. Die Reihenfolge der beiden Punkte spielt keine Rolle, solange x und y zusammen vertauscht werden.
Beispiele
Für f(x) = x² auf [1; 4] ist f(1) = 1 und f(4) = 16, also m = 15 / 3 = 5 und die Sekante y = 5x − 4. Aus den Punkten (1 | 3) und (4 | 12) folgt m = 9 / 3 = 3 und y = 3x. Als Alltagsbeispiel: Legt ein Auto in 3 Stunden 240 km zurück, ist die mittlere Änderungsrate der Strecke 80 km/h.
- Ein positives m bedeutet im Mittel Wachstum, ein negatives Rückgang.
- Je kleiner das Intervall, desto näher liegt m an der Momentanrate, also der Ableitung.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate?
Die mittlere Rate gilt für ein ganzes Intervall und ist die Sekantensteigung. Die momentane Rate gilt an einer einzigen Stelle und ist die Tangentensteigung, also die Ableitung.
Wie berechne ich die mittlere Änderungsrate einer Funktion?
Berechnen Sie f(x₂) − f(x₁) und teilen Sie durch x₂ − x₁. Für f(x) = x² zwischen 1 und 4 ergibt das (16 − 1) / 3 = 5.
Kann die mittlere Änderungsrate negativ sein?
Ja, wenn die Werte im Intervall insgesamt sinken. Dann liegt die Sekante fallend, und m ist kleiner als 0.
Quellen und Rechtsgrundlagen
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