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Abstand zweier Punkte berechnen

Den Abstand zweier Punkte berechnen Sie hier in der Ebene und im Raum: Koordinaten eintragen, und die Länge der Strecke steht sofort da. Für A(1 | 2) und B(4 | 6) beträgt der Abstand 5 – dazu gibt es den Mittelpunkt, die Steigung und den Rechenweg mit dem Satz des Pythagoras.

Beispiel: Dimension: Ebene (x, y) · Punkt A: x₁ 1 · Punkt A: y₁ 2 · Punkt B: x₂ 4 · Punkt B: y₂ 6 → Abstand: Abstand d = 5. Quelle: Wikipedia – Euklidischer Abstand. Stand: .

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Ergebnis

Abstand
Abstand d = 5
Mittelpunkt der Strecke
Mittelpunkt M = (2,5 | 4)
Koordinatendifferenzen
  • Δx = x₂ − x₁ = 3
  • Δy = y₂ − y₁ = 4
Rechenweg
  • Formel: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
  • Einsetzen: d = √((3)² + (4)²) = √25 = 5
  • Die Gerade durch beide Punkte hat die Steigung m = Δy ÷ Δx = 1,3333333 (Steigungswinkel 53,130102°).

So wird gerechnet

Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der geraden Strecke zwischen ihnen. In der Ebene gilt d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), im Raum kommt (z₂ − z₁)² unter die Wurzel. Die Formel ist der Satz des Pythagoras: Die Koordinatendifferenzen Δx und Δy sind die Katheten, der Abstand die Hypotenuse.

So rechnet das Tool

Beispiel und Anwendung

Zwischen A(1 | 2) und B(4 | 6) ist Δx = 3 und Δy = 4, also d = √(9 + 16) = 5. Im Raum zwischen (1 | 2 | 0) und (4 | 6 | 12) ergibt sich √(9 + 16 + 144) = 13. Praktisch nutzt man das in Geometrie und Vermessung, bei Vektoren und bei Computergrafik. Für die Gleichung der Geraden durch zwei Punkte gibt es den Geradengleichung-Rechner, für rechtwinklige Dreiecke den Pythagoras-Rechner. Die Entfernung zwischen zwei Orten auf der Erdkugel ist etwas anderes, sie hängt von der Erdkrümmung ab.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte?

Mit d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²): Differenzen der Koordinaten quadrieren, addieren und aus der Summe die Wurzel ziehen. Für (1 | 2) und (4 | 6) ergibt das 5.

Wie lautet die Formel für den Abstand im Raum?

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Es kommt einfach die dritte Koordinatendifferenz hinzu.

Wie berechnet man den Abstand mit Vektoren?

Man bildet den Verbindungsvektor AB = B − A und berechnet dessen Betrag. Das Ergebnis ist dasselbe wie mit der Abstandsformel.

Wie finde ich den Mittelpunkt einer Strecke?

Man mittelt die Koordinaten: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 | (y₁ + y₂) ÷ 2). Das Tool zeigt ihn zusammen mit dem Abstand an.

Kann der Abstand negativ sein?

Nein. Ein Abstand ist eine Länge und daher immer 0 oder größer; er ist 0 nur, wenn beide Punkte zusammenfallen.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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