Calcolo del tasso di variazione medio
Questo calcolo tasso di variazione medio vale per una funzione ax² + bx + c su un intervallo o per due punti. Esempio: f(x) = x² tra x = 1 e x = 4 ha un tasso di variazione medio di (16 − 1) / 3 = 5.
Fonte: Wikipedia – Differenzenquotient. Aggiornato al: .
Come si calcola
Il tasso di variazione medio indica di quanto cambia in media una grandezza per unità ed è la pendenza della secante per due punti del grafico. Si chiama anche rapporto incrementale ed è l’anticamera della derivata.
Formula e passaggi
Per due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂), m = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Per una funzione si calcolano prima f(x₁) e f(x₂) e li si usa come valori di y. Lo strumento aggiunge l’equazione della secante y = m·x + n. L’ordine dei punti non conta se x e y vengono scambiati insieme.
Esempi
Per f(x) = x² su [1, 4], f(1) = 1 e f(4) = 16, quindi m = 15 / 3 = 5 e la secante è y = 5x − 4. I punti (1, 3) e (4, 12) danno m = 9 / 3 = 3 e y = 3x. Caso quotidiano: un’auto che percorre 240 km in 3 ore ha un tasso medio di variazione della distanza di 80 km/h.
- Un m positivo indica crescita media, uno negativo un calo.
- Più piccolo è l’intervallo, più m si avvicina al tasso istantaneo, cioè alla derivata.
Domande frequenti
Che differenza c’è tra tasso medio e istantaneo?
Il tasso medio vale per un intero intervallo ed è la pendenza della secante. Quello istantaneo vale in un solo punto ed è la pendenza della tangente, cioè la derivata.
Come si calcola il tasso di variazione medio di una funzione?
Si calcola f(x₂) − f(x₁) e si divide per x₂ − x₁. Per f(x) = x² tra 1 e 4 si ottiene (16 − 1) / 3 = 5.
Può essere negativo?
Sì, quando i valori calano nell’intervallo. La secante è allora decrescente e m è minore di 0.
Fonti e riferimenti normativi
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