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平均変化率の計算

平均変化率の計算は、関数 ax² + bx + c と区間、または2点を入力するだけです。例えば f(x) = x² のx = 1からx = 4までの平均変化率は (16 − 1) / 3 = 5です。

計算例：何がわかっていますか: 関数 f(x) = ax² + bx + c と区間 · a（x²の係数） 1 · b（xの係数） 0 · c（定数） 0 · 区間の始点 x₁ 1 · 区間の終点 x₂ 4 → 結果：平均変化率 m = 5（x = 1から x = 4まで：Δy = 15、Δx = 3）。出典：Wikipedia – Differenzenquotient。更新日：

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結果

結果
平均変化率 m = 5（x = 1から x = 4まで：Δy = 15、Δx = 3）
すべての値
項目値
点1(1 | 1)
点2(4 | 16)
変化量 Δx3
変化量 Δy15
平均変化率 m5
割線y = 5·x − 4
計算手順
  • 関数の値：f(1) = 1、f(4) = 16。
  • m = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (16 − 1) / (4 − 1) = 15 / 3 = 5。
  • 2点を通る割線：y = m·x + n、n = y₁ − m·x₁ = 1 − 5·1 = -4、よって y = 5·x − 4。
平均すると値は増加し、xが1増えるごとにyはm増えます。

計算方法

平均変化率は、ある量が単位あたり平均してどれだけ変わるかを表し、グラフ上の2点を通る割線の傾きに等しい値です。差分商とも呼ばれ、微分の入口になる考え方です。

公式と手順

2点(x₁, y₁)、(x₂, y₂)について m = Δy / Δx = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) です。関数の場合は、まず f(x₁) と f(x₂) を求めてyの値として使います。このツールは割線の式 y = m·x + n も示します。2点の順序は、xとyを一緒に入れ替えるかぎり結果に影響しません。

計算例

f(x) = x² の区間[1, 4]ではf(1) = 1、f(4) = 16なので m = 15 / 3 = 5、割線は y = 5x − 4です。2点(1, 3)と(4, 12)なら m = 9 / 3 = 3、y = 3xです。身近な例では、3時間で240 km走る車の距離の平均変化率は時速80 kmです。

よくある質問

平均変化率と瞬間変化率の違いは何ですか？

平均変化率は区間全体に対するもので、割線の傾きです。瞬間変化率は1点での値で、接線の傾き、つまり微分係数です。

関数の平均変化率はどう求めますか？

f(x₂) − f(x₁) を求めて x₂ − x₁ で割ります。f(x) = x² の1から4までなら (16 − 1) / 3 = 5です。

平均変化率は負になりますか？

はい。区間で値が減少していれば割線は右下がりになり、mは0より小さくなります。

出典・根拠

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