Równanie okręgu
Równanie okręgu ma postać (x − a)² + (y − b)² = r². Dla środka (2, −3) i promienia 5 wychodzi (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Kalkulator zamienia postacie i znajduje okrąg przechodzący przez trzy punkty.
Przykład: Podaj okrąg: ze środka i promienia · Środek x (a) 2 · Środek y (b) -3 · Promień r 5 · Punkt do sprawdzenia x 5 · Punkt do sprawdzenia y 1 → Równanie okręgu: (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Źródło: Wikipedia – Kreis (Kreisgleichung, Koordinatenform). Stan na: .
Jak to obliczamy
Okrąg to zbiór wszystkich punktów leżących w tej samej odległości r od środka S(a, b). Z twierdzenia Pitagorasa wynika równanie (x − a)² + (y − b)² = r². Po wymnożeniu powstaje postać ogólna x² + y² + D·x + E·y + F = 0.
Z jednej postaci na drugą
Ze środka i promienia wynika D = −2a, E = −2b i F = a² + b² − r². W drugą stronę dopełnienie do kwadratu daje środek S(−D/2, −E/2) i promień r = √(D²/4 + E²/4 − F). Dla (x − 2)² + (y + 3)² = 25 postać ogólna to x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0. Jeśli wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest dodatnie, okrąg nie istnieje.
Okrąg przez trzy punkty
Trzy punkty niewspółliniowe wyznaczają dokładnie jeden okrąg, czyli okrąg opisany na trójkącie. Jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków. Kalkulator rozwiązuje to bezpośrednio ze współrzędnych i podaje obie postacie. Dzięki punktowi do sprawdzenia zobaczysz, czy punkt leży wewnątrz, na czy na zewnątrz okręgu, porównując jego odległość od środka z r.
- Środek w początku układu daje prostą postać x² + y² = r².
- Współrzędne są kartezjańskie; uważaj na znaki: (y + 3) oznacza b = −3.
- Obwód 2πr i pole πr² są podawane od razu.
Najczęściej zadawane pytania
Jak brzmi równanie okręgu?
(x − a)² + (y − b)² = r², gdzie S(a, b) to środek, a r promień. Dla S(0, 0) i r = 5 jest to x² + y² = 25.
Jak znaleźć środek i promień z postaci ogólnej?
Ze wzorów S(−D/2, −E/2) i r = √(D²/4 + E²/4 − F). Dla x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 wychodzi S(2, −3) i r = 5.
Jak napisać równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty?
Środek to punkt przecięcia symetralnych odcinków łączących punkty, promień to odległość od jednego z nich. Kalkulator wykona obliczenia, jeśli punkty nie leżą na jednej prostej.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Kreis (Kreisgleichung, Koordinatenform)
- Wikipedia – Circle (Equations)
- Wikipedia – Umkreis (okrąg opisany; obliczanie ze współrzędnych wierzchołków)
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Odległość między punktami: kalkulatorOblicz odległość między punktami na płaszczyźnie i w przestrzeni: wpisz współrzędne i odczytaj długość, środek odcinka i nachylenie z tokiem obliczeń.
- Równanie prostej – przez dwa punkty lub ze współczynnikiem kierunkowymRównanie prostej przez dwa punkty lub z punktu i współczynnika kierunkowego: postać kierunkowa, ogólna, parametryczna, miejsce zerowe i obliczenia od razu.
- Kalkulator kołaKalkulator koła: promień, średnica, obwód i pole z jednej wartości, a do tego długość łuku, cięciwa, wycinek i odcinek koła dla dowolnego kąta. Za darmo.
- Wierzchołek paraboli: kalkulatorWierzchołek paraboli z f(x) = ax² + bx + c: postać kanoniczna, miejsca zerowe i oś symetrii – z tokiem obliczeń i sprawdzeniem, także w odwrotną stronę.
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Kalkulator wektorów z obliczeniami krok po krokuKalkulator wektorów 2D i 3D: suma, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt i rzut dwóch wektorów – od razu, z obliczeniami krok po kroku.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Odległość punktu od prostejOblicz odległość punktu od prostej na płaszczyźnie (Ax + By + C = 0, y = ax + b lub dwa punkty) albo w przestrzeni, z rzutem prostokątnym i obliczeniami.
- Pole półkola – kalkulatorPole półkola z promienia, średnicy, pola lub obwodu: powierzchnia, obwód wraz ze średnicą i długość łuku, ze wzorami i obliczeniami krok po kroku.