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Gammafunktion berechnen

Der Rechner liefert die Gammafunktion Γ(x) für jede reelle Zahl außer 0, −1, −2, … – auch Brüche wie Γ(0,5) = √π und riesige Werte als Zehnerpotenz.

Beispiel: x 0,5 → Ergebnis: Γ(0,5) = 1,772453851. Quelle: NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026). Stand: .

Beliebige reelle Zahl; bei 0, −1, −2, … hat die Gammafunktion Polstellen.
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Ergebnis

Ergebnis
Γ(0,5) = 1,772453851
Weitere Werte
GrößeWert
Γ(0,5)1,772453851
0,5! = Γ(0,5 + 1)0,8862269255
ln |Γ(0,5)|0,5723649429
1 / Γ(0,5)0,5641895835
Vorzeichen von Γ(x)positiv
Berechnet mit der Lanczos-Näherung (g = 7) und der Spiegelungsformel, intern rund 15 gültige Stellen; ganze Zahlen bis 171 exakt als (x − 1)!.

So wird gerechnet

Die Gammafunktion setzt die Fakultät auf reelle Zahlen fort: Γ(n) = (n − 1)! für natürliche Zahlen n und Γ(x + 1) = x·Γ(x) für jedes x. So ist Γ(5) = 4! = 24 und Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.

Definition und Rechenregeln

Für x > 0 ist die Gammafunktion das Eulersche Integral Γ(x) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(x−1) dt. Zwei Regeln aus der NIST Digital Library of Mathematical Functions übertragen sie auf alle übrigen Zahlen:

Bei 0, −1, −2, … hat die Funktion Polstellen und keinen Wert. Zwischen den Polstellen auf der negativen Achse wechselt das Vorzeichen.

Werte der Gammafunktion

xΓ(x)
0,253,6256099082
0,51,7724538509
1,50,8862269255
2,51,3293403882
4,511,6317283966
524
−0,5−3,5449077018
−1,52,3632718012

Auch der NIST-Referenzwert Γ(1/3) = 2,67893 85347… wird getroffen. Ab x ≈ 171,6 passt das Ergebnis nicht mehr in eine normale Gleitkommazahl; das Tool zeigt es dann über ln Γ(x) an, etwa Γ(200) = 199! ≈ 3,943289 × 10³⁷². Für ganze Zahlen liefert der Rechner Fakultät berechnen alle Stellen, und der Vorfaktor 1/√(2π) der Normalverteilung folgt aus Γ(1/2) = √π.

Genauigkeit

Die Lanczos-Näherung ist auf rund 15 gültige Stellen genau; angezeigt werden zehn. Sehr große Werte entstehen aus ln Γ(x), dessen Rundungsfehler mit der Größe wächst: Ab etwa x = 3500 zeigt das Tool deshalb neun Stellen, bei x = 1.000.000 noch sieben. Sehr nahe an einer Polstelle wird das Ergebnis riesig, und schon die Rundung der Eingabe kostet dort relative Genauigkeit.

Häufige Fragen

Was ist Γ(0,5)?

Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.

Wie hängen Gammafunktion und Fakultät zusammen?

Γ(n) = (n − 1)! für natürliche Zahlen, also Γ(5) = 24. Umgekehrt gilt x! = Γ(x + 1) für jedes reelle x, das keine negative ganze Zahl ist.

Kann die Gammafunktion negativ sein?

Ja, für manche negativen x: Γ(−0,5) ≈ −3,5449077018, während Γ(−1,5) ≈ 2,3632718012 wieder positiv ist.

Warum ist Γ(0) nicht definiert?

Die Gammafunktion hat bei 0 und jeder negativen ganzen Zahl eine Polstelle; dort wachsen die Werte über alle Grenzen.

Was ist 0,5 Fakultät?

0,5! = Γ(1,5) = √π / 2 ≈ 0,8862269255.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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