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Einheitskreis Rechner

Dieser Einheitskreis Rechner zeigt zu einem Winkel den Punkt (cos θ | sin θ) auf dem Kreis mit Radius 1. Beispiel: Bei 150° ist der Punkt (−0,866025 | 0,5) und tan θ = −0,57735, also im zweiten Quadranten.

Quelle: Wikipedia – Unit circle. Stand: .

Beliebige Zahl, auch negativ oder größer als 360°.
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Ergebnis

Ergebnis
θ = 150° → Punkt P(-0,866025 | 0,5), tan θ = -0,57735 (Quadrant II)
Alle Werte
GrößeWert
Winkel zwischen 0° und 360°150°
Bogenmaß2,61799
LageQuadrant II
sin θ (y-Koordinate)0,5
cos θ (x-Koordinate)-0,866025
tan θ = sin θ / cos θ-0,57735
Exakt (sin | cos | tan)1/2 | −√3/2 | −√3/3
Rechenweg
  • Bezugswinkel (spitzer Winkel zur x-Achse): 30°; Vorzeichen in dieser Lage: sin +, cos −.
  • sin θ = 0,5, cos θ = -0,866025, tan θ = sin θ / cos θ = -0,57735.
  • Exakte Werte: sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3.
Der Punkt liegt auf dem Kreis mit Radius 1, deshalb gilt sin²θ + cos²θ = 1. Bei 90° und 270° ist cos θ = 0, der Tangens daher nicht definiert.

So wird gerechnet

Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Zu jedem Winkel θ, gemessen von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn, gehört ein Punkt P(cos θ | sin θ).

So liest man den Einheitskreis

Die x-Koordinate des Punktes ist der Kosinus, die y-Koordinate der Sinus. Der Tangens ist das Verhältnis sin θ / cos θ, also die Steigung der Strecke vom Ursprung zum Punkt. Winkel über 360° oder unter 0° werden um volle Umdrehungen zurückgeführt. Das Vorzeichen hängt vom Quadranten ab: In I sind sin und cos positiv, in II ist cos negativ, in III beide, in IV nur sin.

Durchgerechnetes Beispiel

Für θ = 150° liegt der Punkt im zweiten Quadranten; der Bezugswinkel ist 180° − 150° = 30°. Mit sin 30° = 1/2 und cos 30° = √3/2 folgt sin 150° = 1/2 = 0,5 und cos 150° = −√3/2 = −0,866025. Der Tangens ist −√3/3 = −0,57735. Der Punkt ist also P(−0,866025 | 0,5). Der Rechner nennt zusätzlich die exakten Werte, wenn der Winkel ein Vielfaches von 30° oder 45° ist.

Häufige Fragen

Was zeigt der Einheitskreis?

Er zeigt zu jedem Winkel Sinus und Kosinus als Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis mit Radius 1. Bei 150° ist das P(−0,866025 | 0,5).

Wie bestimmt man die Vorzeichen von Sinus und Kosinus?

Über den Quadranten: Im zweiten Quadranten (90° bis 180°) ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ.

Warum ist der Tangens bei 90° nicht definiert?

Weil cos 90° = 0 ist und der Tangens sin θ / cos θ eine Division durch null verlangen würde.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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