30-60-90-Dreieck berechnen
Beim 30-60-90-Dreieck genügt eine Seite, um alle anderen zu bestimmen. Beispiel: Ist die kurze Kathete 5, dann ist die lange Kathete 8,66025 und die Hypotenuse 10.
Quelle: Wikipedia – Special right triangle. Stand: .
So wird gerechnet
Ein 30-60-90-Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 30°, 60° und 90°. Seine Seiten stehen stets im festen Verhältnis 1 : √3 : 2, deshalb genügt eine bekannte Seite.
Formeln und Rechenweg
Mit der kurzen Kathete a, die dem 30°-Winkel gegenüberliegt, gilt: lange Kathete b = a · √3 und Hypotenuse c = 2a. Die Fläche ist A = a² · √3 / 2, der Umfang U = a · (3 + √3). Ist die lange Kathete gegeben, rechnen Sie a = b / √3, bei gegebener Hypotenuse a = c / 2.
Durchgerechnetes Beispiel
Für a = 5 ist b = 5 · √3 ≈ 8,66025 und c = 10. Die Fläche beträgt 25 · √3 / 2 ≈ 21,6506, der Umfang 15 + 5 · √3 ≈ 23,6603. Zur Kontrolle: 5² + 8,66025² = 25 + 75 = 100 = 10², der Satz des Pythagoras stimmt.
- Die Herkunft des Verhältnisses: Halbiert man ein gleichseitiges Dreieck mit Seite 2a entlang der Höhe, entsteht genau dieses Dreieck.
- Die Hypotenuse ist immer doppelt so lang wie die kurze Kathete, ein schneller Plausibilitätstest.
Häufige Fragen
Was ist das Seitenverhältnis im 30-60-90-Dreieck?
Kurze Kathete : lange Kathete : Hypotenuse = 1 : √3 : 2. Bei kurzer Kathete 5 sind das 5 : 8,66025 : 10.
Wie berechne ich die Seiten aus der Hypotenuse?
Die kurze Kathete ist die Hälfte der Hypotenuse, die lange Kathete das √3-Fache davon. Bei c = 10 ist a = 5 und b ≈ 8,66025.
Welche Seite liegt welchem Winkel gegenüber?
Die kürzeste Seite liegt dem 30°-Winkel gegenüber, die mittlere dem 60°-Winkel und die längste, die Hypotenuse, dem rechten Winkel.
Quellen und Rechtsgrundlagen
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