PL

Kalkulator pochodnych

Ten kalkulator pochodnych działa bez rejestracji: wpisz funkcję zmiennej x, a narzędzie poda uproszczoną pochodną wraz z krokami i użytymi regułami. Na życzenie dostaniesz też drugą i trzecią pochodną oraz wartość funkcji, nachylenie i styczną w wybranym punkcie.

Źródło: Reguły różniczkowania: reguła sumy, stałej, iloczynu, potęgi i łańcuchowa oraz pochodne sin, cos, tan, exp, ln (standardowy materiał analizy). Stan na: .

np. x^3 - 4x + 1, sin(x)*x^2, e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x). Dozwolone: + − * / ^, nawiasy, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi
dla wartości, nachylenia i stycznej; zostaw puste, jeśli niepotrzebne
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wykres f i f′-4-3-2-1123456-20-10102030
f(x)f′(x)Styczna w x₀

Wynik

Pochodna
x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
Wszystkie rzędy
  • f′(x) = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
Kroki (pierwsza pochodna)
  • Reguła iloczynu (u·v)′ = u′·v + u·v′: (x^2·sin(x))′ = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
  • › Reguła potęgi (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹: (x^2)′ = 2x
  • › Reguła łańcuchowa: pochodna zewnętrzna razy wewnętrzna: (sin(x))′ = cos(x)
Wartość funkcji i nachylenie
f(1) = 0,841471; f′(1) = 2,22324
Styczna w x₀
y = 2,22324x − 1,38177
Punkty, w których f′(x) = 0 (od −10 do 10)
  • x = −8,09616: minimum lokalne (f″ > 0), f(x) = −63,635
  • x = −5,08699: maksimum lokalne (f″ < 0), f(x) = 24,083
  • x = −2,28893: minimum lokalne (f″ > 0), f(x) = −3,9453
  • x = 0: styczna pozioma, f″ = 0 – sprawdź zmianę znaku f′, f(x) = 0
  • x = 2,28893: maksimum lokalne (f″ < 0), f(x) = 3,9453
  • x = 5,08699: minimum lokalne (f″ > 0), f(x) = −24,083
  • x = 8,09616: maksimum lokalne (f″ < 0), f(x) = 63,635
Wynik jest uproszczony dokładnie, ale może wyglądać inaczej niż w Twoim zbiorze zadań, a mimo to być poprawny. Pochodne obowiązują w dziedzinie funkcji, np. x > 0 dla ln(x).

Jak to obliczamy

Pochodna funkcji pokazuje, jak szybko zmienia się jej wartość: w każdym punkcie jest nachyleniem stycznej. To narzędzie różniczkuje symbolicznie funkcje jednej zmiennej, upraszcza wynik i pokazuje, jaką regułę zastosowano do której części.

Najważniejsze reguły różniczkowania

Wyższe pochodne, nachylenie i styczna

Druga pochodna opisuje krzywiznę, trzecia jej zmianę. Jeśli podasz punkt x₀, narzędzie obliczy wartość funkcji, nachylenie f′(x₀) i styczną y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Rdzeń obliczeń jest sprawdzany w testach ilorazem różnicowym. Przebieg funkcji zobaczysz w wykresie funkcji; przy pierwiastkach i potęgach przydadzą się kalkulator potęg i kalkulator równań kwadratowych.

Wykres, ekstrema i kontrola

Pod polami narzędzie rysuje f (linia ciągła) i f′ (linia przerywana) na jednym wykresie. Po wpisaniu punktu x₀ pojawiają się też punkt styczności i styczna. Widać od razu: tam, gdzie f′ przecina oś x, f ma styczną poziomą; tam, gdzie f′ jest dodatnia, f rośnie.

Wiersz „Punkty, w których f′(x) = 0” wypisuje te punkty między −10 a 10 i klasyfikuje je drugą pochodną: f″ < 0 to maksimum lokalne, f″ > 0 minimum lokalne. Jeśli także f″ = 0, rozstrzyga dopiero zmiana znaku f′ – narzędzie o tym informuje. Punkty są szukane numerycznie i zaokrąglane do 6 cyfr znaczących.

Przed wyświetleniem każda pochodna jest w tle porównywana z ilorazem różnicowym w 24 punktach. Jeśli coś się nie zgadza, zamiast wyniku pojawia się komunikat. Pochodne można teraz liczyć do piątego rzędu. Nieobsługiwane są arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, wartość bezwzględna i wiele zmiennych – wtedy pojawia się jasny komunikat. Działanie odwrotne, czyli funkcję pierwotną, policzy kalkulator całek.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć pochodną?

Rozłóż funkcję na części i do każdej zastosuj odpowiednią regułę: potęgi dla xⁿ, sumy i stałej dla sum i liczb przed wyrażeniem, iloczynu lub funkcji złożonej dla połączeń. Narzędzie pokazuje właśnie te kroki.

Jakie funkcje są obsługiwane?

Sumy, iloczyny, ułamki i potęgi x oraz sin, cos, tan, exp, ln i pierwiastki, a do tego stałe e i pi. Działają też wyrażenia takie jak 2^x czy x^x. Nie ma wielu zmiennych ani całek.

Jak zapisać ułamki i pierwiastki?

Ułamki ukośnikiem, np. 1/x lub (x+1)/(x-2). Pierwiastki jako sqrt(x) albo potęgę x^(1/2). Ułamki dziesiętne mogą mieć przecinek lub kropkę: 0,5x^2.

Co to jest styczna w punkcie?

Prosta, która dotyka wykresu w x₀ i ma tam to samo nachylenie. Ma postać y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Narzędzie wstawi liczby za Ciebie.

Dlaczego mój wynik wygląda inaczej niż w odpowiedziach?

Tę samą pochodną można zapisać na różne sposoby, np. 2sin(x)·cos(x) i sin(2x). Aby sprawdzić, podstaw tę samą wartość: jeśli obie postacie dają tę samą liczbę, są równoważne.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia