Afgeleide berekenen

Een afgeleide berekenen kan hier zonder account: voer een functie van x in en de tool geeft de vereenvoudigde afgeleide met de stappen en de gebruikte regels. Desgewenst krijg je ook de tweede en derde afgeleide en de functiewaarde, helling en raaklijn in een gekozen punt.

Bron: Differentieerregels: som-, constante-factor-, product-, macht- en kettingregel, plus afgeleiden van sin, cos, tan, exp, ln (standaardstof van de analyse). Bijgewerkt: 5 oktober 2026.

Functie f(x)

bijv. x^3 - 4x + 1, sin(x)*x^2, e^(2x), ln(x)/x, sqrt(x). Toegestaan: + − * / ^, haakjes, sin cos tan exp ln sqrt, e, pi

Gewenste afgeleide

Punt x₀ (optioneel)

voor functiewaarde, helling en raaklijn; leeg laten als je het niet nodig hebt

Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Afgeleide: x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
Alle orden: f′(x) = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
Stappen (eerste afgeleide): Productregel (u·v)′ = u′·v + u·v′: (x^2·sin(x))′ = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
› Machtsregel (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹: (x^2)′ = 2x
› Kettingregel: afgeleide van buiten maal afgeleide van binnen: (sin(x))′ = cos(x)
Functiewaarde en helling: f(1) = 0,841471; f′(1) = 2,22324
Raaklijn in x₀: y = 2,22324x − 1,38177
Punten waar f′(x) = 0 (−10 tot 10): x = −8,09616: lokaal minimum (f″ > 0), f(x) = −63,635
x = −5,08699: lokaal maximum (f″ < 0), f(x) = 24,083
x = −2,28893: lokaal minimum (f″ > 0), f(x) = −3,9453
x = 0: horizontale raaklijn, f″ = 0 – controleer de tekenwisseling van f′, f(x) = 0
x = 2,28893: lokaal maximum (f″ < 0), f(x) = 3,9453
x = 5,08699: lokaal minimum (f″ > 0), f(x) = −24,083
x = 8,09616: lokaal maximum (f″ < 0), f(x) = 63,635; Het resultaat wordt exact vereenvoudigd, maar kan er anders uitzien dan in je antwoordenboek zonder fout te zijn. Afgeleiden gelden op het domein van de functie, bijv. x > 0 bij ln(x).

Zo wordt het berekend

De afgeleide van een functie geeft aan hoe snel de waarde verandert: in elk punt is ze de helling van de raaklijn. Deze tool differentieert functies van één variabele symbolisch, vereenvoudigt het resultaat en toont welke regel op welk deel is toegepast.

De belangrijkste differentieerregels

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, dus (x³)′ = 3x².
Constante factor en som: een getal ervoor blijft staan, sommen worden term voor term gedifferentieerd.
Productregel: (u·v)′ = u′·v + u·v′, bijvoorbeeld bij x²·sin(x).
Kettingregel: bij samengestelde functies als sin(2x) vermenigvuldig je de afgeleide van buiten met die van binnen: 2·cos(2x).
Standaardfuncties: (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x.

Hogere afgeleiden, helling en raaklijn

De tweede afgeleide beschrijft de kromming, de derde de verandering daarvan. Vul je een punt x₀ in, dan berekent de tool de functiewaarde, de helling f′(x₀) en de raaklijn y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). De rekenkern wordt in zijn tests gecontroleerd met het differentiequotiënt. Het verloop van de functie zie je in de functieplotter; voor wortels en machten helpen de machtenrekenmachine en de rekenmachine voor vergelijkingen van de tweede graad.

Grafiek, extremen en controle

Onder de velden tekent de tool f (doorgetrokken) en f′ (gestreept) in één figuur. Vul je een punt x₀ in, dan komen het raakpunt en de raaklijn erbij. Je ziet meteen: waar f′ de x-as snijdt, heeft f een horizontale raaklijn; waar f′ positief is, stijgt f.

De regel ‘Punten waar f′(x) = 0’ somt die punten tussen −10 en 10 op en deelt ze in met de tweede afgeleide: f″ < 0 lokaal maximum, f″ > 0 lokaal minimum. Is ook f″ = 0, dan beslist pas de tekenwisseling van f′ – dat meldt de tool erbij. De punten worden numeriek gezocht en afgerond op 6 significante cijfers.

Voordat er iets wordt getoond, wordt elke afgeleide op de achtergrond op 24 punten vergeleken met het differentiequotiënt. Klopt er iets niet, dan verschijnt een melding in plaats van een resultaat. Afgeleiden kunnen nu tot en met de vijfde orde. Niet ondersteund zijn arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, absolute waarde en meerdere variabelen – daarvoor krijg je een duidelijke melding. Voor de omgekeerde bewerking, de primitieve, gebruik je de integraalrekenmachine.

Veelgestelde vragen

Hoe bereken ik een afgeleide?

Splits de functie in delen en pas op elk deel de passende regel toe: de machtsregel voor xⁿ, som- en constante-factorregel voor sommen en getallen ervoor, product- of kettingregel bij combinaties. De tool laat precies deze stappen zien.

Welke functies worden ondersteund?

Sommen, producten, breuken en machten van x, plus sin, cos, tan, exp, ln en wortels, met de constanten e en pi. Ook uitdrukkingen als 2^x of x^x werken. Meerdere variabelen en integralen zijn niet inbegrepen.

Hoe typ ik breuken en wortels?

Breuken met een schuine streep, zoals 1/x of (x+1)/(x-2). Wortels met sqrt(x) of als macht x^(1/2). Decimalen mogen met komma of punt: 0,5x^2.

Wat is de raaklijn in een punt?

De rechte lijn die de grafiek in x₀ raakt en daar dezelfde helling heeft. Ze is y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). De tool vult de getallen voor je in.

Waarom ziet mijn resultaat er anders uit dan het antwoordenboek?

Dezelfde afgeleide kan op verschillende manieren worden geschreven, zoals 2sin(x)·cos(x) en sin(2x). Controleer door dezelfde waarde in te vullen: geven beide vormen hetzelfde getal, dan zijn ze gelijkwaardig.

Bronnen en wettelijke basis

Bijgewerkt op: 5 oktober 2026 · Redactioneel beleid