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微分の計算

微分の計算は、ここに x の関数を入力するだけです。簡単な形に整理した導関数を、使った公式の説明つきで表示します。必要なら2階・3階の導関数に加えて、指定した点での関数の値、傾き、接線の式も確認できます。登録は不要です。

出典：微分の規則：和・定数倍・積・べき乗・合成関数（連鎖律）の各規則と、sin、cos、tan、exp、lnの導関数（解析学の標準的内容）。更新日：

例：x^3 - 4x + 1、sin(x)*x^2、e^(2x)、ln(x)/x、sqrt(x)。使える記号：+ − * / ^、かっこ、sin cos tan exp ln sqrt、e、pi
関数の値・傾き・接線を出すときに入力します。不要なら空欄のまま
マイツールボックス入力内容はこのブラウザーにのみ保存されます。

f と f′ のグラフ-4-3-2-1123456-20-10102030
f(x)f′(x)x₀ での接線

結果

導関数
x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
すべての階数
  • f′(x) = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
途中式（1階微分）
  • 積の微分 (u·v)′ = u′·v + u·v′: (x^2·sin(x))′ = x^2·cos(x) + 2x·sin(x)
  • › べき乗の微分 (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹: (x^2)′ = 2x
  • › 合成関数の微分：外側の微分×内側の微分: (sin(x))′ = cos(x)
関数の値と傾き
f(1) = 0.841471、f′(1) = 2.22324
x₀での接線
y = 2.22324x − 1.38177
f′(x) = 0 となる点（−10〜10）
  • x = −8.09616：極小（f″ > 0）、f(x) = −63.635
  • x = −5.08699：極大（f″ < 0）、f(x) = 24.083
  • x = −2.28893：極小（f″ > 0）、f(x) = −3.9453
  • x = 0：接線が水平、f″ = 0（f′ の符号変化を確認してください）、f(x) = 0
  • x = 2.28893：極大（f″ < 0）、f(x) = 3.9453
  • x = 5.08699：極小（f″ > 0）、f(x) = −24.083
  • x = 8.09616：極大（f″ < 0）、f(x) = 63.635
結果は厳密に整理されますが、教科書の答えと見た目が異なっても誤りとは限りません。導関数は関数の定義域で成り立ちます（例：ln(x) ならx > 0）。

計算方法

導関数は、関数の値がどれだけ速く変化するかを表すもので、各点での接線の傾きにあたります。このツールは1変数の関数を記号的に微分し、結果を簡単な形に整理して、どの部分にどの公式を使ったかを示します。

おもな微分の公式

高階微分・傾き・接線

2階微分は曲がりぐあい、3階微分はその変化を表します。点 x₀ を入力すると、関数の値、傾き f′(x₀)、接線 y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀) を計算します。計算部分は、テストで差分商との照合により検証済みです。グラフの形は関数グラフで確認でき、べき乗や根号の計算にはべき乗計算や二次方程式ソルバーが役立ちます。

グラフ・極値・検算

入力欄の下に、f（実線）と f′（破線）を1つの図に描きます。点 x₀ を入力すると、接点と接線も加わります。f′ が x 軸と交わるところで f の接線が水平になり、f′ が正のところで f が増加することがひと目で分かります。

「f′(x) = 0 となる点」の行には、−10〜10 の範囲にあるその点を並べ、2階微分で分類します。f″ < 0 なら極大、f″ > 0 なら極小です。f″ = 0 でもある場合は f′ の符号変化で判断する必要があり、その旨を表示します。点は数値的に求め、有効数字6桁に丸めています。

結果を表示する前に、各導関数を24点で差分商と照合しています。一致しない場合は結果の代わりにメッセージを表示します。微分は5階まで求められます。arcsin、arccos、arctan、sinh、cosh、絶対値、多変数には対応しておらず、その場合ははっきりとメッセージでお知らせします。逆の操作である原始関数は積分の計算で求められます。

よくある質問

微分はどうやって計算しますか？

関数をいくつかの部分に分け、それぞれに合う公式を使います。xⁿならべき乗の公式、和や前に付く数なら和・定数倍の公式、組み合わせなら積や合成関数の公式です。このツールはその手順を表示します。

どんな関数に対応していますか？

xの和・積・分数・べき乗のほか、sin、cos、tan、exp、ln、平方根、定数のeとpiに対応しています。2^x や x^x のような式も微分できます。複数の変数や積分には対応していません。

分数や平方根はどう書きますか？

分数はスラッシュで、1/x や (x+1)/(x-2) のように書きます。平方根は sqrt(x) か、べき乗の x^(1/2) で入力します。小数点はピリオドでもカンマでも入力できます：0.5x^2。

接線とは何ですか？

x₀でグラフに接し、そこで同じ傾きをもつ直線です。式は y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀) で、数値はツールが代入します。

答えが解答集と違って見えるのはなぜですか？

同じ導関数でも、2sin(x)·cos(x) と sin(2x) のように書き方が複数あります。確かめるには、同じ値を代入してください。どちらも同じ数になれば同じ式です。

出典・根拠

更新日： · 編集方針

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