Torus Volumen berechnen
Das Torus Volumen berechnen Sie mit V = 2π²·R·r²: R ist der Abstand der Rohrmitte von der Achse, r der Radius des Rohrs. Alternativ geben Sie Außen- und Innenradius des Rings ein.
Beispiel: Eingabe über: Abstand R und Rohrradius r · Längeneinheit: cm · Abstand R (Achse bis Rohrmitte) 4 · Rohrradius r 1,5 → Ergebnis: Volumen 177,6529 cm³, Oberfläche 236,8705 cm². Quelle: OpenStax Calculus Volume 2, section 2.6: Theorem of Pappus for volume (volume = area of the region × distance travelled by its centroid) and Example 2.34 (torus from a circle of radius 2 at distance 4: V = 32π²) (read 13.10.2026). Stand: .
So wird gerechnet
Das Volumen eines Torus ist V = 2π² · R · r². R ist der Abstand zwischen Drehachse und Rohrmitte, r der Radius des kreisförmigen Querschnitts. Die Oberfläche beträgt A = 4π² · R · r.
Woher die Formel kommt
Nach dem Satz des Pappus ist das Volumen eines Rotationskörpers gleich der Fläche der gedrehten Figur mal dem Weg ihres Schwerpunkts. Der Querschnittskreis hat die Fläche π·r², sein Mittelpunkt läuft den Weg 2π·R: V = π·r² · 2π·R = 2π²·R·r². OpenStax rechnet genau das vor: Radius 2 im Abstand 4 ergibt 32π² ≈ 315,83 Volumeneinheiten. Für die Oberfläche gilt der entsprechende Satz mit dem Umfang des Kreises: 2π·r · 2π·R = 4π²·R·r.
Beispiele
| R | r | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 315,83 | 315,83 |
| 4 | 1,5 | 177,65 | 236,87 |
| 10 | 1 | 197,39 | 394,78 |
| 3 | 1 | 59,22 | 118,44 |
Mit R = 4 und r = 1,5 gilt V = 2π² · 4 · 1,5² ≈ 177,65 und A = 4π² · 4 · 1,5 ≈ 236,87. Aus Außenradius 5,5 und Innenradius 2,5 folgen dieselben Werte (R = 4, r = 1,5). Verwandte Rechner: Zylinder, Kugel und Kreisring.
Grenzen
Die Formeln gelten für einen Ring mit kreisförmigem Querschnitt. Ist r gleich R, schließt sich das Loch (Horntorus); ist r größer als R, durchdringt sich der Körper selbst und das Tool rechnet nicht.
Häufige Fragen
Wie berechnet man das Volumen eines Torus?
Mit V = 2π² · R · r². Beispiel: R = 4, r = 2 ergibt 32π² ≈ 315,83.
Wie lautet die Oberfläche eines Torus?
A = 4π² · R · r. Für R = 4 und r = 1,5 sind das etwa 236,87.
Was ist R und was ist r?
R ist der Abstand von der Achse bis zur Mitte des Rohrs, r der Radius des Rohrs selbst.
Wie rechne ich mit Außen- und Innendurchmesser?
Radien bilden: r = (Außenradius − Innenradius) ÷ 2 und R = (Außenradius + Innenradius) ÷ 2. Das Tool macht das im zweiten Modus.
Warum darf r nicht größer als R sein?
Dann überschneidet sich der Ring selbst; die Formel V = 2π²·R·r² beschreibt dann keinen echten Körper mehr.
Quellen und Rechtsgrundlagen
- OpenStax Calculus Volume 2, section 2.6: Theorem of Pappus for volume (volume = area of the region × distance travelled by its centroid) and Example 2.34 (torus from a circle of radius 2 at distance 4: V = 32π²) (read 13.10.2026)
- Wolfram MathWorld, Torus, Eqs. 9–14: surface area S = 4π²·a·c and volume V = 2π²·a²·c (a = tube radius, c = distance from the axis to the tube centre) (read 13.10.2026)
- Wolfram MathWorld, Pappus’s Centroid Theorem: surface area of revolution = arc length of the generating curve × distance travelled by its centroid (read 13.10.2026)
Stand: · So prüfen wir
Passende Werkzeuge
- Kreis berechnenKreis berechnen aus Radius, Durchmesser, Umfang oder Fläche, dazu Bogenlänge, Sehne, Sektor und Segment zu jedem Winkel. Mit Formeln, ohne Anmeldung.
- Zylinder berechnenZylinder berechnen aus zwei beliebigen Werten: Radius, Durchmesser, Umfang, Höhe, Volumen, Mantel- oder Oberfläche – mit Formeln, Liter und Rechenweg.
- Kugel berechnenKugel berechnen aus Radius, Durchmesser, Volumen, Oberfläche oder Umfang: alle Maße der Kugel auf einen Blick, mit Formeln und Rechenweg. Kostenlos, ohne Konto.
- Kreisring berechnenKreisring berechnen aus Außen- und Innenradius, den Durchmessern oder aus Fläche und Außenradius: Fläche, Ringbreite, Umfänge mit Formel und Rechenweg.
- Volumen berechnenVolumen berechnen für 12 Körper: Zylinder, Quader, Kugel, Kegel, Prisma, liegender Tank … Maße in cm, m, Zoll oder Fuß mischen – mit Liter, Formel und Skizze.
- Taschenrechner onlineKostenloser Online-Taschenrechner: tippen oder klicken, Ergebnis sofort – mit Punkt-vor-Strich, Klammern, Prozent, Wurzel, Rechenweg und Verlauf.
- NE555 Rechner: Frequenz, Tastgrad und PulsdauerNE555 Rechner für astabilen und monostabilen Betrieb: Frequenz, Periode, High- und Low-Zeit und Tastgrad aus RA, RB und C oder die Pulsdauer aus R und C.
- Endgeschwindigkeit berechnenEndgeschwindigkeit berechnen für einen Fall mit Luftwiderstand aus Masse, cw-Wert, Querschnittsfläche und Luftdichte: in m/s, km/h und mph samt Zeit bis 95 %.
- Blindleistungskompensation berechnenBlindleistungskompensation berechnen: Kondensatorleistung und Kapazität für Ein- und Drehstrom aus Wirkleistung, cos φ vorher und nachher, mit Rechenweg.