PL

Kalkulator odchylenia standardowego

Kalkulator odchylenia standardowego: wklej dane oddzielone spacjami, średnikami lub nowymi wierszami. Zobaczysz wszystkie najważniejsze miary statystyki opisowej razem z obliczeniami krok po kroku.

Przecinek oddziela część dziesiętną (2,5). Wartości rozdzielaj spacją, średnikiem lub nowym wierszem; „1, 2, 3” (przecinek i spacja) też zadziała. Można wkleić kolumnę z arkusza.
Wpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Średnia arytmetyczna
5
Liczebność (n)
8
Suma
40
Mediana
4,5
Dominanta (moda)
4 (3 razy)
Minimum
2
Maksimum
9
Rozstęp
7
Odchylenie standardowe z próby (s, n − 1)
2,13809
Wariancja z próby (s², n − 1)
4,571429
Odchylenie standardowe populacji (σ, n)
2
Wariancja populacji (σ², n)
4
Kwartyle
Q1 = 4 · Q3 = 5,5 · rozstęp międzykwartylowy = 1,5
Wartości posortowane
2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9
Obliczenia krok po kroku
  • Liczebność n = 8, suma Σx = 40
  • Średnia x̄ = Σx / n = 40 / 8 = 5
  • Mediana: po posortowaniu średnia wartości nr 4 i 5 = (4 + 5) / 2 = 4,5
  • Suma kwadratów odchyleń Σ(x − x̄)² = (2 − 5)² + (4 − 5)² + (4 − 5)² + (4 − 5)² + (5 − 5)² + (5 − 5)² + (7 − 5)² + (9 − 5)² = 32
  • Próba: s² = 32 / (n − 1) = 32 / 7 = 4,571429; s = √4,571429 = 2,13809
  • Populacja: σ² = 32 / n = 32 / 8 = 4; σ = √4 = 2
  • Rozstęp = maksimum − minimum = 9 − 2 = 7

Jak to obliczamy

Jak obliczyć odchylenie standardowe – wzory

Dla zbioru n wartości x1, …, xn kalkulator stosuje definicje z NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods:

Próba czy populacja?

Jeśli dane obejmują całą badaną grupę (np. oceny wszystkich uczniów jednej klasy), dziel przez n. Jeśli to tylko próba, na podstawie której wnioskujesz o większej populacji (np. 50 ankietowanych klientów), dziel przez n − 1 (poprawka Bessela). W Excelu służą do tego funkcje ODCH.STANDARD.PRÓBKI i ODCH.STANDARD.POPUL.

Przykład

Dane: 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9 (n = 8). Suma 40, średnia 40 / 8 = 5. Po posortowaniu dwie środkowe wartości to 4 i 5, więc mediana wynosi 4,5. Dominanta to 4 (trzy razy). Kwadraty odchyleń: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Populacja: σ² = 32 / 8 = 4, σ = 2. Próba: s² = 32 / 7 ≈ 4,5714, s ≈ 2,1381. Rozstęp 9 − 2 = 7.

Kwartyle

Q1 i Q3 są liczone metodą interpolacji liniowej (jak KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK w Excelu i domyślnie w R). Podręczniki i kalkulatory naukowe stosują czasem inne metody, więc kwartyle mogą się nieznacznie różnić.

Obliczenia są numerycznie stabilne (poprawiony algorytm dwuprzebiegowy) i odtwarzają certyfikowane zbiory referencyjne NIST, także dla dużych liczb o małym rozrzucie.

Najczęściej zadawane pytania

Kiedy odchylenie standardowe z próby, a kiedy populacji?

Wzoru dla populacji (dzielenie przez n) używaj, gdy dane obejmują wszystkich członków grupy. Wzoru dla próby (dzielenie przez n − 1) – gdy dane są próbą, a chcesz oszacować rozrzut w większej populacji; to typowa sytuacja przy pomiarach i ankietach.

Czym różni się odchylenie standardowe od wariancji?

Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Ma tę samą jednostkę co dane (np. cm), a wariancja – jednostkę do kwadratu (cm²), dlatego odchylenie standardowe łatwiej zinterpretować.

Co oznacza „brak dominanty”?

Jeśli każda wartość występuje tyle samo razy (np. każda dokładnie raz), żadna się nie wyróżnia – dominanty nie ma. Gdy kilka wartości ma tę samą najwyższą liczebność, pokazywane są wszystkie (rozkład dwu- lub wielomodalny).

Średnia czy mediana – co lepsze?

Mediana jest odporna na wartości odstające: dla 1, 2, 3, 4, 100 średnia wynosi 22, a mediana 3. Przy danych skośnych, takich jak zarobki czy ceny mieszkań, mediana lepiej opisuje środek.

Jak wpisywać liczby dziesiętne?

Z przecinkiem, np. 12,5. Wartości oddzielaj wtedy spacją, średnikiem lub nowym wierszem. Tysięcy nie oddzielaj (1500, nie 1 500).

Dlaczego kwartyle różnią się od tych z podręcznika lub kalkulatora?

Istnieje kilka definicji kwartyli. Ten kalkulator używa interpolacji liniowej jak Excel (KWARTYL.PRZEDZ.ZAMK). Średnia, mediana, wariancja i odchylenie standardowe są zdefiniowane jednoznacznie i będą zgodne.

Źródła i podstawa prawna

Stan na:

Podobne narzędzia