Prawo stygnięcia Newtona

Prawo stygnięcia Newtona, T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κt), policzysz tutaj: napój 90 °C w pokoju 20 °C przy κ = 0,05 na minutę ma po 10 minutach 62,46 °C.

Przykład: Oblicz: Temperaturę po danym czasie · Jednostka temperatury: °C · Jednostka czasu: minuty · Temperatura początkowa T0 90 · Temperatura otoczenia Ts 20 · Stała stygnięcia κ 0,05 · Upływający czas t 10 → Wynik: Po 10 min: 62,46 °C. Źródło: OpenStax Calculus Volume 2, section 4.3: Newton’s law of cooling dT/dt = k(T − Ts), solution T(t) = Ts + (T0 − Ts)e^(kt); pizza example Ts = 75 °F, T0 = 200 °F, k ≈ −0.08338, 150 °F after about 6.12 min (read 13.10.2026). Stan na: 13 października 2026.

Oblicz

Jednostka temperatury

Tylko do wyświetlania; wzór korzysta z różnic temperatur.

Jednostka czasu

Temperatura początkowa T0

Temperatura otoczenia Ts

Stała stygnięcia κ

Na jednostkę czasu; większa oznacza szybsze stygnięcie.

Upływający czas t

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik: Po 10 min: 62,46 °C
Szczegóły: Wielkość Wartość
Temperatura w tym czasie 62,46 °C
Stała stygnięcia κ 0,05 / min
Czas do połowy różnicy 13,86 min
Różnica względem otoczenia 42,46 °C; Obliczono ze wzoru T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κt) (OpenStax Calculus Volume 2, prawo stygnięcia Newtona). Zakłada stałe otoczenie i równomierną wymianę ciepła; rzeczywiste ciała mogą odbiegać, np. gdy są izolowane lub gdy liczy się parowanie.

Wielkość	Wartość
Temperatura w tym czasie	62,46 °C
Stała stygnięcia κ	0,05 / min
Czas do połowy różnicy	13,86 min
Różnica względem otoczenia	42,46 °C

Jak to obliczamy

Prawo stygnięcia Newtona: T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κ·t). T0 to temperatura początkowa, Ts temperatura otoczenia, t czas, a κ stała stygnięcia na jednostkę czasu. Prawo mówi, że temperatura zmienia się z szybkością proporcjonalną do różnicy względem otoczenia (OpenStax Calculus Volume 2, przy k = −κ).

Przykład: gorący napój

T0 = 90 °C, Ts = 20 °C, κ = 0,05 na minutę. Po 10 minutach: T = 20 + 70 · e^−0,5 ≈ 62,46 °C. Napój osiąga 60 °C po ln(70 ÷ 40) ÷ 0,05 ≈ 11,19 minuty, a różnica względem pokoju maleje o połowę co ln 2 ÷ 0,05 ≈ 13,86 minuty.

Minuty	Temperatura w °C
0	90,00
5	74,52
10	62,46
20	45,75
30	35,62
60	23,49

Przykład z OpenStax

Pizza o temperaturze 200 °F w kuchni 75 °F stygnie do 190 °F w minutę. Wtedy κ = ln(125 ÷ 115) ≈ 0,08338 na minutę, więc po 3 minutach ma 172,34 °F, a 150 °F osiąga po około 6,13 minuty (książka podaje 6,12, bo najpierw zaokrągla k).

Ten sam kształt wykładniczy opisuje rozpad, zobacz okres połowicznego rozpadu; temperaturę końcową mieszaniny cieczy policzysz w kalkulatorze temperatury mieszaniny.

Ograniczenia

Prawo pasuje, gdy otoczenie jest stałe, a ciepło odpływa głównie przez przewodzenie lub konwekcję. Stałą κ trzeba zmierzyć dla swojego ciała, np. trzecim trybem.

Najczęściej zadawane pytania

Czym jest prawo stygnięcia Newtona?

Temperatura ciała zmienia się z szybkością proporcjonalną do jego różnicy względem otoczenia: T(t) = Ts + (T0 − Ts) · e^(−κt).

Jak wyznaczyć stałą stygnięcia?

Zmierz temperaturę T1 po czasie t1: κ = ln((T0 − Ts) ÷ (T1 − Ts)) ÷ t1. Dla 90 → 80 °C w 5 minut przy 20 °C to 0,03083 na minutę.

Jak długo stygnie gorący napój do danej temperatury?

t = ln((T0 − Ts) ÷ (T − Ts)) ÷ κ. Dla T0 = 90, Ts = 20, κ = 0,05 i T = 60 to około 11,19 minuty.

Czy działa w stopniach Fahrenheita?

Tak, wzór używa tylko różnic temperatur; wybierz °F do wyświetlania i podawaj wszystkie temperatury w tej samej jednostce.

Dlaczego ciało nigdy nie osiąga dokładnie temperatury pokoju?

Różnica maleje o ten sam czynnik w równych odstępach czasu, więc dąży do zera, ale teoretycznie go nie osiąga.

Źródła i podstawa prawna

OpenStax Calculus Volume 2, section 4.3: Newton’s law of cooling dT/dt = k(T − Ts), solution T(t) = Ts + (T0 − Ts)e^(kt); pizza example Ts = 75 °F, T0 = 200 °F, k ≈ −0.08338, 150 °F after about 6.12 min (read 13.10.2026)

Stan na: 13 października 2026 · Zasady redakcyjne