PL

Równanie kwadratowe – kalkulator

Każde równanie kwadratowe zapisz w postaci ax² + bx + c = 0 i wpisz a, b oraz c. Kalkulator pokaże deltę, pierwiastki, dokładną postać i wszystkie kroki.

Przykład: a (współczynnik przy x²) 2 · b (współczynnik przy x) -8 · c (wyraz wolny) 6 → Pierwiastki: x₁ = 1; x₂ = 3. Źródło: Wolfram MathWorld – Quadratic formula and discriminant. Stan na: .

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Pierwiastki
x₁ = 1; x₂ = 3
Delta (Δ)
D = 16 > 0 → dwa pierwiastki
Wierzchołek paraboli
S(2 | −2)
Postać iloczynowa
2 · (x − 1) · (x − 3)
Wzory Viète’a
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
Tok obliczeń
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • Postać unormowana (dzielimy przez a): x² + px + q = 0, p = −4, q = 3
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • Sprawdzenie wzorami Viète’a: x₁ + x₂ = −b ÷ a oraz x₁ · x₂ = c ÷ a
a > 0: ramiona paraboli skierowane w górę, wierzchołek to minimum.

Jak to obliczamy

Równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0 rozwiązuje się za pomocą delty Δ = b² − 4ac: przy Δ > 0 pierwiastki to x₁ = (−b − √Δ) ÷ (2a) i x₂ = (−b + √Δ) ÷ (2a), przy Δ = 0 jest jeden pierwiastek x₀ = −b ÷ (2a), a przy Δ < 0 brak pierwiastków rzeczywistych. Przykład: 2x² − 8x + 6 = 0 ma Δ = 16 oraz x₁ = 1 i x₂ = 3.

Postać ogólna równania

Postać dokładna, wierzchołek i postać iloczynowa

Przy współczynnikach całkowitych kalkulator podaje też dokładne pierwiastki: jako ułamek (6x² − x − 2 = 0 → −1/2 i 2/3) lub z uproszczonym pierwiastkiem (x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2). Dostajesz również wierzchołek W(p, q) z p = −b/(2a) i q = −Δ/(4a), postać iloczynową a(x − x₁)(x − x₂) i sprawdzenie wzorami Viète’a. Gdy Δ < 0, pokazane są pierwiastki zespolone, np. 1 ± 2i.

Dokładność

Gdy b² jest dużo większe od 4ac, bezpośrednie podstawienie do wzoru traci cyfry. Kalkulator stosuje więc stabilny wariant z Numerical Recipes: q = −(b + sgn(b)·√Δ)/2, x₁ = q/a, x₂ = c/q. W toku obliczeń widać zwykły wzór szkolny.

Parabolę narysujesz w narzędziu wykres funkcji, pierwiastki sprawdzisz w kalkulatorze potęg, a ułamki w kalkulatorze ułamków.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć deltę?

Δ = b² − 4ac. Dla 2x² − 8x + 6 = 0: Δ = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16, √Δ = 4.

Jakie są wzory na pierwiastki równania kwadratowego?

x₁ = (−b − √Δ) ÷ (2a), x₂ = (−b + √Δ) ÷ (2a) przy Δ > 0; x₀ = −b ÷ (2a) przy Δ = 0.

Co, jeśli delta jest ujemna?

Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych – parabola nie przecina osi OX. W liczbach zespolonych: x = (−b ± i√(−Δ)) ÷ (2a).

Jak rozwiązać równanie kwadratowe niezupełne?

Bez b: wyznacz x² (x² = 9 → x = ±3). Bez c: wyłącz x przed nawias (x(x + 4) = 0 → x = 0 lub x = −4).

Jak zapisać postać iloczynową?

Mając pierwiastki: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Np. 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).

Źródła i podstawa prawna

Stan na:

Podobne narzędzia