Równanie prostej – przez dwa punkty lub ze współczynnikiem kierunkowym
To narzędzie wyznacza równanie prostej z dwóch punktów albo z punktu i współczynnika kierunkowego: w kilka sekund dostajesz y = ax + b, postać ogólną, parametryczną i wektor normalny. Obliczenia pokazują każdy krok na Twoich liczbach.
Przykład: Dane są: dwa punkty · Punkt 1 – x₁ 1 · Punkt 1 – y₁ 2 · Punkt 2 – x₂ 4 · Punkt 2 – y₂ 8 → Równanie prostej: y = 2x. Źródło: Wikipedia – Linear equation (Normalform y = mx + b, allgemeine Form, Punkt-Steigungs-Form). Stan na: .
Jak to obliczamy
Prostą na płaszczyźnie zapisuje się zwykle jako y = ax + b, gdzie a to współczynnik kierunkowy, a b – wyraz wolny, czyli miejsce przecięcia z osią y. Współczynnik kierunkowy mówi, o ile rośnie y przy kroku o 1 w prawo. Dla punktów (1; 2) i (4; 8) mamy a = (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 2 oraz b = 2 − 2·1 = 0, więc y = 2x.
Drogi do równania
- Z dwóch punktów: najpierw a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), potem b = y₁ − a·x₁. Jeśli oba x są równe, prosta jest pionowa: x = stała.
- Z punktu i współczynnika kierunkowego: wystarczy podstawić do b = y₁ − a·x₁.
- Postać ogólna: A·x + B·y + C = 0 ze skróconymi liczbami całkowitymi. Obejmuje też proste pionowe.
- Postać parametryczna i wektor normalny: parametryczna używa wektora kierunkowego (x₂ − x₁; y₂ − y₁), druga wektora normalnego (A; B), prostopadłego do prostej.
Miejsce zerowe, kąt i sprawdzenie
Miejsce zerowe to punkt przecięcia z osią x (y = 0), czyli x = −b ÷ a. Kąt nachylenia wynika z α = arctan(a). Aby sprawdzić wynik, podstaw oba punkty do równania: muszą je spełniać. Pole „wartość y dla x” daje kolejne punkty. Wektory kierunkowe, kąty i iloczyn skalarny policzysz w kalkulatorze wektorów, miejsca zerowe paraboli w kalkulatorze równania kwadratowego, a wykres narysuje wykres funkcji.
Najczęściej zadawane pytania
Jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty?
Oblicz współczynnik kierunkowy a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), a potem b = y₁ − a·x₁. Dla (1; 2) i (4; 8) wychodzi a = 2, b = 0 i równanie y = 2x.
Jakie jest równanie prostej z punktu i współczynnika kierunkowego?
Z a i punktu (x₁; y₁) mamy b = y₁ − a·x₁, a równanie to y = ax + b. Dla a = 0,5 i (2; 3) jest b = 2, czyli y = 0,5x + 2.
Co to jest postać ogólna prostej?
A·x + B·y + C = 0 z liczbami całkowitymi A, B i C. y = 2x przechodzi w 2x − y = 0. Ta postać opisuje też proste pionowe, jak x = 3 (x − 3 = 0).
Jak obliczyć miejsce zerowe prostej?
Przyjmij y = 0 i rozwiąż względem x: x = −b ÷ a. Dla y = 2x − 4 miejscem zerowym jest x = 2.
Co znaczy, że oba x są równe?
Prosta jest pionowa i nie ma współczynnika kierunkowego. Jej równanie to po prostu x = stała; postaci y = ax + b nie ma.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Linear equation (Normalform y = mx + b, allgemeine Form, Punkt-Steigungs-Form)
- Wikipedia – Slope (nachylenie z dwóch punktów, kąt nachylenia)
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Odległość punktu od prostejOblicz odległość punktu od prostej na płaszczyźnie (Ax + By + C = 0, y = ax + b lub dwa punkty) albo w przestrzeni, z rzutem prostokątnym i obliczeniami.
- Kalkulator wektorów z obliczeniami krok po krokuKalkulator wektorów 2D i 3D: suma, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt i rzut dwóch wektorów – od razu, z obliczeniami krok po kroku.
- Wykres funkcji onlineRysuj wykres do trzech funkcji online, przybliżaj i przesuwaj, obliczaj numerycznie miejsca zerowe, maksima i minima, zapisuj wykres jako PNG lub SVG. Za darmo.
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Kalkulator nachyleniaKalkulator nachylenia: oblicz nachylenie z wysokości i długości, procentów, kąta lub stosunku 1 : n – z przeliczeniem na procenty i stopnie oraz tabelą.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Równanie prostej: punkt i nachylenie kalkulatorRównanie prostej punkt i nachylenie kalkulator: y − y₁ = a(x − x₁) z dwóch punktów lub z punktu i nachylenia, z postacią kierunkową, miejscem zerowym i krokami.
- Średnie tempo zmian kalkulatorŚrednie tempo zmian kalkulator dla funkcji na przedziale lub dla dwóch punktów: m = Δy / Δx z równaniem siecznej i opisem każdego kroku obliczeń.
- Regresja kwadratowa – kalkulatorRegresja kwadratowa kalkulator: parabola y = ax² + bx + c przez Twoje punkty z R², wierzchołkiem, prognozą i resztami oraz pełnymi obliczeniami krok po kroku.