Odległość punktu od prostej
Ten kalkulator liczy odległość punktu od prostej ze wzoru d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Odległość punktu (5; 5) od prostej 3x + 4y − 10 = 0 wynosi 5. Prostą można też podać jako y = ax + b albo przez dwa punkty; kalkulator działa w przestrzeni i podaje rzut prostokątny punktu.
Przykład: Prosta podana jako: Równanie ogólne Ax + By + C = 0 · Punkt: x₀ 5 · Punkt: y₀ 5 · A (współczynnik przy x) 3 · B (współczynnik przy y) 4 · C (wyraz wolny) -10 → Odległość: d = 5. Źródło: OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Stan na: .
Jak to obliczamy
Odległość punktu P(x₀; y₀) od prostej Ax + By + C = 0 wynosi d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²): wartość bezwzględna po podstawieniu punktu do równania, podzielona przez długość wektora normalnego (A; B). To długość odcinka prostopadłego łączącego punkt z prostą, tak jak definiuje ją podręcznik OpenStax Calculus. Podręcznik podaje wzór dla punktu i płaszczyzny, |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²); dla c = 0 i z₀ = 0 wychodzi wzór na płaszczyźnie (obliczony).
Przykłady: odległość punktu od prostej
| Prosta | Punkt | Odległość |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1; 7) | 3,4 |
Krok po kroku dla pierwszego wiersza: licznik |3 · 5 + 4 · 5 − 10| = 25, mianownik √(3² + 4²) = 5, odległość 25 : 5 = 5. Jeśli prosta ma postać y = ax + b, zapisuje się ją jako ax − y + b = 0; jeśli przechodzi przez punkty A i B, A = y₂ − y₁, B = x₁ − x₂ i C = x₂y₁ − x₁y₂. Odległość 0 oznacza, że punkt leży na prostej.
Odległość punktu od prostej w przestrzeni
W przestrzeni prosta nie ma równania Ax + By + C = 0. OpenStax bierze punkt P prostej i jej wektor kierunkowy v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, bo PM i v tworzą równoległobok o podstawie ‖v‖ i wysokości d. W przykładzie 2.47 z podręcznika M(1; 1; 3), P(3; −1; 3) i v = ⟨4; 2; 1⟩ dają PM × v = 2i + 2j − 12k oraz d = √152 / √21 ≈ 2,69. W tym przypadku wybierz tryb „W przestrzeni”.
Odległość dwóch punktów liczy odległość między punktami; równanie prostej z punktów lub współczynnika kierunkowego wyznacza równanie prostej.
Najczęściej zadawane pytania
Jaki jest wzór na odległość punktu od prostej?
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) dla prostej Ax + By + C = 0 i punktu (x₀; y₀). Od punktu (5; 5) do 3x + 4y − 10 = 0: 25 : 5 = 5.
Co zrobić, gdy prosta ma postać kierunkową y = ax + b?
Przekształcić ją do postaci ogólnej ax − y + b = 0, czyli A = a, B = −1 i C = b. Kalkulator robi to sam w trybie „Równanie kierunkowe”.
Dlaczego we wzorze jest wartość bezwzględna?
Odległość nigdy nie jest ujemna. Znak wyrażenia Ax₀ + By₀ + C mówi tylko, po której stronie prostej leży punkt.
Czym jest rzut prostokątny punktu na prostą?
To punkt prostej najbliższy danemu punktowi, w którym przecina ją prostopadła. Dla (5; 5) i 3x + 4y − 10 = 0 jest to (2; 1).
Jak liczyć w przestrzeni?
Za pomocą punktu P prostej i wektora kierunkowego v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, twierdzenie 2.12). Dla przykładu z podręcznika wychodzi około 2,69.
Źródła i podstawa prawna
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Odległość między punktami: kalkulatorOblicz odległość między punktami na płaszczyźnie i w przestrzeni: wpisz współrzędne i odczytaj długość, środek odcinka i nachylenie z tokiem obliczeń.
- Równanie prostej – przez dwa punkty lub ze współczynnikiem kierunkowymRównanie prostej przez dwa punkty lub z punktu i współczynnika kierunkowego: postać kierunkowa, ogólna, parametryczna, miejsce zerowe i obliczenia od razu.
- Równanie prostej: punkt i nachylenie kalkulatorRównanie prostej punkt i nachylenie kalkulator: y − y₁ = a(x − x₁) z dwóch punktów lub z punktu i nachylenia, z postacią kierunkową, miejscem zerowym i krokami.
- Kalkulator wektorów z obliczeniami krok po krokuKalkulator wektorów 2D i 3D: suma, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, długość, kąt i rzut dwóch wektorów – od razu, z obliczeniami krok po kroku.
- Kalkulator nachyleniaKalkulator nachylenia: oblicz nachylenie z wysokości i długości, procentów, kąta lub stosunku 1 : n – z przeliczeniem na procenty i stopnie oraz tabelą.
- Równanie okręguRównanie okręgu ze środka i promienia, z postaci ogólnej lub z trzech punktów, z obiema postaciami, obwodem, polem i położeniem punktu względem okręgu.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Bilansowanie reakcji chemicznychBilansowanie reakcji chemicznych online: wpisz równanie i zobacz najmniejsze współczynniki całkowite oraz bilans atomów. Z nawiasami i ładunkami. Za darmo.
- Mnożenie pisemneMnożenie pisemne krok po kroku z iloczynami częściowymi i przeniesieniami – także z przecinkiem i liczbami ujemnymi. Do ćwiczeń i sprawdzania zadań domowych.