PL

Kąt podwojony – kalkulator

Ten kąt podwojony kalkulator wyznacza sin 2θ, cos 2θ i tan 2θ oraz wartości kąta połówkowego. Przykład: dla θ = 30° sin 2θ = 0,866025, cos 2θ = 0,5, a sin(θ/2) = sin 15° = 0,258819.

Źródło: Wikipedia – List of trigonometric identities. Stan na: .

Dowolna liczba, także ujemna lub większa niż 360°.
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
Kąt podwojony 2θ = 60°: sin 0,866025 · cos 0,5 · tan 1,73205 | kąt połówkowy θ/2 = 15°: sin 0,258819 · cos 0,965926 · tan 0,267949
Wszystkie wartości
WielkośćWartość
Kąt θ30°
sin θ0,5
cos θ0,866025
tan θ0,57735
sin 2θ0,866025
cos 2θ0,5
tan 2θ1,73205
sin(θ/2)0,258819
cos(θ/2)0,965926
tan(θ/2)0,267949
Obliczenia krok po kroku
  • Wartości podstawowe: sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025, tan θ = 0,57735.
  • sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.
  • cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 0,866025² − 0,5² = 0,5; podobnie 2cos²θ − 1 = 0,5 i 1 − 2sin²θ = 0,5.
  • tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ) = 1,73205.
  • sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819.
  • cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926.
  • tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = 0,5 / (1 + 0,866025) = 0,267949.
Znak wartości kąta połówkowego zależy od ćwiartki θ/2, a nie θ. Trzy postacie cos 2θ zawsze dają ten sam wynik.

Jak to obliczamy

Wzory na kąt podwojony dają sinus, cosinus i tangens podwojonego kąta z wartości kąta pojedynczego; wzory na kąt połówkowy idą w przeciwną stronę.

Wzory

Kąt podwojony: sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ, cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ oraz tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ). Kąt połówkowy: sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2) oraz tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ). Znak wyznacza ćwiartka θ/2: sinus jest dodatni w ćwiartkach I i II, cosinus w I i IV.

Przykład krok po kroku

Dla θ = 30° sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025, a tan θ = 0,57735. Stąd sin 60° = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025, cos 60° = 0,866025² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5 i tan 60° = 2 · 0,57735 / (1 − 1/3) = 1,73205. Dla kąta połówkowego θ/2 = 15°: sin 15° = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819, cos 15° = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926 i tan 15° = 0,5 / 1,866025 = 0,267949.

Najczęściej zadawane pytania

Jaki jest wzór na sinus kąta podwojonego?

sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ. Dla 30° to 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.

Jakie wzory istnieją dla cos 2θ?

Trzy równoważne: cos²θ − sin²θ, 2cos²θ − 1 i 1 − 2sin²θ. Dla 30° każdy daje 0,5.

Jak wybrać znak we wzorach na kąt połówkowy?

Według ćwiartki θ/2. Jeśli θ/2 leży między 0° a 90°, sinus i cosinus są dodatnie.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia