PL

Funkcja gamma – kalkulator

Ten kalkulator liczy funkcję gamma Γ(x) dla każdej liczby rzeczywistej oprócz 0, −1, −2, …, także dla ułamków, jak Γ(0,5) = √π, i dla ogromnych wartości zapisanych jako potęgi dziesięciu.

Przykład: x 0,5 → Wynik: Γ(0,5) = 1,772453851. Źródło: NIST Digital Library of Mathematical Functions §5.2: Euler’s integral Γ(z) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(z−1) dt (read 14.10.2026). Stan na: .

Dowolna liczba rzeczywista; funkcja gamma ma bieguny w 0, −1, −2, …
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
Γ(0,5) = 1,772453851
Inne wartości
WielkośćWartość
Γ(0,5)1,772453851
0,5! = Γ(0,5 + 1)0,8862269255
ln |Γ(0,5)|0,5723649429
1 / Γ(0,5)0,5641895835
Znak Γ(x)dodatni
Obliczono przybliżeniem Lanczosa (g = 7) i wzorem odbicia, wewnętrznie z dokładnością około 15 cyfr znaczących; liczby całkowite do 171 dokładnie jako (x − 1)!.

Jak to obliczamy

Funkcja gamma rozszerza silnię na liczby rzeczywiste: Γ(n) = (n − 1)! dla dodatnich liczb całkowitych i Γ(x + 1) = x·Γ(x) dla każdego x. Zatem Γ(5) = 4! = 24, a Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.

Definicja i własności

Dla x > 0 funkcja gamma to całka Eulera Γ(x) = ∫₀^∞ e^(−t)·t^(x−1) dt. Dwie reguły z NIST Digital Library of Mathematical Functions rozszerzają ją na pozostałe liczby:

W punktach 0, −1, −2, … funkcja ma bieguny i nie ma wartości. Na ujemnej półosi znak zmienia się przy każdym biegunie.

Wartości funkcji gamma

xΓ(x)
0,253,6256099082
0,51,7724538509
1,50,8862269255
2,51,3293403882
4,511,6317283966
524
−0,5−3,5449077018
−1,52,3632718012

Zgadza się też wartość wzorcowa NIST Γ(1/3) = 2,67893 85347… Powyżej x ≈ 171,6 wynik nie mieści się już w zwykłej liczbie zmiennoprzecinkowej; narzędzie pokazuje go wtedy przez ln Γ(x), np. Γ(200) = 199! ≈ 3,943289 × 10³⁷². Dla liczb całkowitych wszystkie cyfry poda kalkulator silni; czynnik 1/√(2π) w rozkładzie normalnym pochodzi z Γ(1/2) = √π.

Funkcja gamma i beta

Funkcja beta Eulera wyraża się przez funkcję gamma: B(a, b) = Γ(a)·Γ(b) / Γ(a + b). Na przykład B(0,5; 0,5) = Γ(0,5)² / Γ(1) = π.

Dokładność

Przybliżenie Lanczosa daje około 15 cyfr znaczących; pokazywanych jest dziesięć. Bardzo duże wartości wynikają z ln Γ(x), którego błąd zaokrąglenia rośnie z jego wielkością: od około x = 3500 narzędzie pokazuje więc dziewięć cyfr, przy x = 1 000 000 siedem. Bardzo blisko bieguna wynik staje się ogromny i już samo zaokrąglenie wpisanej liczby odbiera mu względną dokładność.

Najczęściej zadawane pytania

Ile wynosi funkcja gamma z 0,5?

Γ(0,5) = √π ≈ 1,7724538509.

Jaki jest związek funkcji gamma z silnią?

Γ(n) = (n − 1)! dla dodatnich liczb całkowitych, więc Γ(5) = 24. Odwrotnie x! = Γ(x + 1) dla każdej liczby rzeczywistej, która nie jest ujemną liczbą całkowitą.

Czy funkcja gamma może być ujemna?

Tak, dla niektórych ujemnych x: Γ(−0,5) ≈ −3,5449077018, a Γ(−1,5) ≈ 2,3632718012 jest znów dodatnia.

Dlaczego Γ(0) nie istnieje?

Funkcja gamma ma biegun w 0 i w każdej ujemnej liczbie całkowitej; w pobliżu tych punktów wartości rosną nieograniczenie.

Ile wynosi silnia z 0,5?

0,5! = Γ(1,5) = √π / 2 ≈ 0,8862269255.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia