Calculadora de arco duplo
Esta calculadora de arco duplo determina sen 2θ, cos 2θ e tg 2θ e os valores do arco metade. Exemplo: para θ = 30°, sen 2θ = 0,866025, cos 2θ = 0,5 e sen(θ/2) = sen 15° = 0,258819.
Fonte: Wikipedia – List of trigonometric identities. Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
As fórmulas do arco duplo dão seno, cosseno e tangente do dobro de um ângulo a partir dos valores do ângulo simples; as do arco metade fazem o caminho inverso.
As fórmulas
Arco duplo: sen 2θ = 2 · sen θ · cos θ, cos 2θ = cos²θ − sen²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sen²θ e tg 2θ = 2 · tg θ / (1 − tg²θ). Arco metade: sen(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2) e tg(θ/2) = sen θ / (1 + cos θ). O quadrante de θ/2 decide o sinal: o seno é positivo nos quadrantes I e II, o cosseno em I e IV.
Exemplo resolvido
Para θ = 30°, sen θ = 0,5, cos θ = 0,866025 e tg θ = 0,57735. Daí sen 60° = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025, cos 60° = 0,866025² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5 e tg 60° = 2 · 0,57735 / (1 − 1/3) = 1,73205. Para o arco metade θ/2 = 15°: sen 15° = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819, cos 15° = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926 e tg 15° = 0,5 / 1,866025 = 0,267949.
- Em θ = 45°, cos 2θ = 0, então tg 90° não é definida.
- As fórmulas permitem valores exatos, por exemplo sen 15° a partir de cos 30°.
- A calculadora converte radianos em graus internamente.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do arco duplo do seno?
sen 2θ = 2 · sen θ · cos θ. Para 30° é 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.
Quais fórmulas existem para cos 2θ?
Três equivalentes: cos²θ − sen²θ, 2cos²θ − 1 e 1 − 2sen²θ. Para 30° cada uma dá 0,5.
Como escolher o sinal nas fórmulas do arco metade?
Pelo quadrante de θ/2. Se θ/2 está entre 0° e 90°, seno e cosseno são positivos.
Fontes e base legal
Última atualização: · Princípios editoriais
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