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Calcolatore delle formule di duplicazione

Questo calcolatore formule di duplicazione determina sin 2θ, cos 2θ e tan 2θ e i valori di bisezione. Esempio: per θ = 30°, sin 2θ = 0,866025, cos 2θ = 0,5 e sin(θ/2) = sin 15° = 0,258819.

Fonte: Wikipedia – List of trigonometric identities. Aggiornato al: .

Un numero qualsiasi, anche negativo o oltre 360°.
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Risultato

Risultato
Duplicazione 2θ = 60°: sin 0,866025 · cos 0,5 · tan 1,73205 | bisezione θ/2 = 15°: sin 0,258819 · cos 0,965926 · tan 0,267949
Tutti i valori
GrandezzaValore
Angolo θ30°
sin θ0,5
cos θ0,866025
tan θ0,57735
sin 2θ0,866025
cos 2θ0,5
tan 2θ1,73205
sin(θ/2)0,258819
cos(θ/2)0,965926
tan(θ/2)0,267949
Passaggi del calcolo
  • Valori di base: sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025, tan θ = 0,57735.
  • sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.
  • cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 0,866025² − 0,5² = 0,5; allo stesso modo 2cos²θ − 1 = 0,5 e 1 − 2sin²θ = 0,5.
  • tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ) = 1,73205.
  • sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819.
  • cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926.
  • tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = 0,5 / (1 + 0,866025) = 0,267949.
Il segno dei valori di bisezione dipende dal quadrante di θ/2, non da quello di θ. Le tre forme di cos 2θ danno sempre lo stesso risultato.

Come si calcola

Le formule di duplicazione danno seno, coseno e tangente del doppio di un angolo a partire dai valori dell’angolo semplice; quelle di bisezione percorrono la strada inversa.

Le formule

Duplicazione: sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ, cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ e tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ). Bisezione: sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2) e tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ). Il segno lo decide il quadrante di θ/2: il seno è positivo nei quadranti I e II, il coseno in I e IV.

Esempio svolto

Per θ = 30°, sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025 e tan θ = 0,57735. Ne seguono sin 60° = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025, cos 60° = 0,866025² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5 e tan 60° = 2 · 0,57735 / (1 − 1/3) = 1,73205. Per l’angolo metà θ/2 = 15°: sin 15° = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819, cos 15° = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926 e tan 15° = 0,5 / 1,866025 = 0,267949.

Domande frequenti

Qual è la formula di duplicazione del seno?

sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ. Per 30° è 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.

Quali formule esistono per cos 2θ?

Tre equivalenti: cos²θ − sin²θ, 2cos²θ − 1 e 1 − 2sin²θ. Per 30° ciascuna dà 0,5.

Come si sceglie il segno nelle formule di bisezione?

In base al quadrante di θ/2. Se θ/2 sta tra 0° e 90°, seno e coseno sono positivi.

Fonti e riferimenti normativi

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