PL

Twierdzenie Pitagorasa – kalkulator

Ten kalkulator twierdzenia Pitagorasa potrzebuje dwóch boków trójkąta prostokątnego – szukany bok zostaw pusty. Po wpisaniu wszystkich trzech sprawdzi, czy trójkąt jest prostokątny.

Źródło: Wolfram MathWorld – Pythagorean theorem. Stan na: .

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
c = 5
Dokładna wartość
c = √25 = 5
Kąty
α = 36,8699°, β = 53,1301°, γ = 90°
Pole
6
Obwód
12
Wysokość h na c i odcinki p, q
h = 2,4; p = 1,8; q = 3,2
Tok obliczeń
  • a² + b² = c²
  • c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
  • α = arctan(a ÷ b) = arctan(3 ÷ 4) ≈ 36,8699°; β = 90° − α ≈ 53,1301°
  • A = a · b ÷ 2 = 3 · 4 ÷ 2 = 6
  • h = a · b ÷ c = 12 ÷ 5 ≈ 2,4
3, 4, 5 to trójka pitagorejska – trzy liczby całkowite, dla których a² + b² = c².

Jak to obliczamy

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c². Stąd c = √(a² + b²), a przyprostokątna a = √(c² − b²). Dla a = 3 i b = 4: c = √25 = 5.

Przyprostokątne i przeciwprostokątna

Przeciwprostokątna c leży naprzeciw kąta prostego i jest zawsze najdłuższym bokiem. Boki tworzące kąt prosty to przyprostokątne a i b. Pomylenie ich daje błędny wynik – dlatego kalkulator ostrzega, gdy przyprostokątna jest dłuższa niż c.

Wzory

Dokładny pierwiastek i sprawdzenie

Gdy pierwiastek nie jest całkowity, zobaczysz też postać uproszczoną: dla a = b = 5 wychodzi c = √50 = 5√2 ≈ 7,07. Po wpisaniu trzech boków kalkulator stosuje twierdzenie odwrotne: jeśli a² + b² = c², trójkąt jest prostokątny. Tak budowlańcy wyznaczają kąt prosty metodą 3-4-5: 60 cm, 80 cm i 1 m przekątnej.

Zastosowania

Przekątna prostokąta lub ekranu, wysokość, na jaką sięga drabina, długość krokwi, odległość dwóch punktów: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Pierwiastki i kwadraty sprawdzisz w kalkulatorze naukowym, bryły policzysz w kalkulatorze objętości, a pierwiastki uprościsz krok po kroku w kalkulatorze potęg.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa?

Podnieś przyprostokątne do kwadratu, dodaj i wyciągnij pierwiastek: c = √(a² + b²). Dla a = 6 i b = 8: √(36 + 64) = √100 = 10.

Jak obliczyć przyprostokątną?

Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej i wyciągnij pierwiastek: a = √(c² − b²). Dla c = 13 i b = 12: √(169 − 144) = 5.

Jaki jest wzór twierdzenia Pitagorasa?

a² + b² = c², gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna. Wzór dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.

Jak obliczyć kąty w trójkącie prostokątnym?

α = arctg(a ÷ b) lub arcsin(a ÷ c), a β = 90° − α. W trójkącie 3-4-5: α ≈ 36,87°, β ≈ 53,13°.

Czy twierdzenie Pitagorasa działa dla każdego trójkąta?

Nie, tylko dla prostokątnych. Dla dowolnego trójkąta stosuje się twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² − 2ab · cos γ.

Źródła i podstawa prawna

Stan na:

Podobne narzędzia