NL

Dubbele hoek berekenen

Hier kun je de dubbele hoek berekenen: de tool geeft sin 2θ, cos 2θ en tan 2θ en de halve-hoekwaarden. Voorbeeld: voor θ = 30° is sin 2θ = 0,866025, cos 2θ = 0,5 en sin(θ/2) = sin 15° = 0,258819.

Bron: Wikipedia – List of trigonometric identities. Bijgewerkt: .

Elk getal, ook negatief of groter dan 360°.
Mijn toolboxJe invoer wordt alleen in deze browser opgeslagen.

Resultaat

Resultaat
Dubbele hoek 2θ = 60°: sin 0,866025 · cos 0,5 · tan 1,73205 | halve hoek θ/2 = 15°: sin 0,258819 · cos 0,965926 · tan 0,267949
Alle waarden
GrootheidWaarde
Hoek θ30°
sin θ0,5
cos θ0,866025
tan θ0,57735
sin 2θ0,866025
cos 2θ0,5
tan 2θ1,73205
sin(θ/2)0,258819
cos(θ/2)0,965926
tan(θ/2)0,267949
Rekenstappen
  • Basiswaarden: sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025, tan θ = 0,57735.
  • sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.
  • cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 0,866025² − 0,5² = 0,5; evenzo 2cos²θ − 1 = 0,5 en 1 − 2sin²θ = 0,5.
  • tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ) = 1,73205.
  • sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819.
  • cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926.
  • tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = 0,5 / (1 + 0,866025) = 0,267949.
Het teken van de halve-hoekwaarden hangt af van het kwadrant van θ/2, niet van dat van θ. De drie vormen van cos 2θ geven altijd hetzelfde resultaat.

Zo wordt het berekend

De formules voor de dubbele hoek geven sinus, cosinus en tangens van tweemaal een hoek uit de waarden van de enkele hoek; de halve-hoekformules gaan de andere kant op.

De formules

Dubbele hoek: sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ, cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ en tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ). Halve hoek: sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2) en tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ). Het kwadrant van θ/2 bepaalt het teken: de sinus is positief in kwadrant I en II, de cosinus in I en IV.

Uitgewerkt voorbeeld

Voor θ = 30° is sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025 en tan θ = 0,57735. Hieruit volgt sin 60° = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025, cos 60° = 0,866025² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5 en tan 60° = 2 · 0,57735 / (1 − 1/3) = 1,73205. Voor de halve hoek θ/2 = 15°: sin 15° = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819, cos 15° = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926 en tan 15° = 0,5 / 1,866025 = 0,267949.

Veelgestelde vragen

Wat is de formule voor de dubbele hoek van de sinus?

sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ. Voor 30° is dat 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.

Welke formules bestaan er voor cos 2θ?

Drie gelijkwaardige: cos²θ − sin²θ, 2cos²θ − 1 en 1 − 2sin²θ. Voor 30° geeft elke 0,5.

Hoe kies je het teken bij de halve-hoekformules?

Naar het kwadrant van θ/2. Ligt θ/2 tussen 0° en 90°, dan zijn sinus en cosinus positief.

Bronnen en wettelijke basis

Bijgewerkt op: · Redactioneel beleid

Vergelijkbare tools