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Doppelwinkel Rechner

Mit diesem Doppelwinkel Rechner bestimmen Sie sin 2θ, cos 2θ und tan 2θ sowie die Halbwinkelwerte. Beispiel: Für θ = 30° ist sin 2θ = 0,866025, cos 2θ = 0,5 und sin(θ/2) = sin 15° = 0,258819.

Quelle: Wikipedia – List of trigonometric identities. Stand: .

Beliebige Zahl, auch negativ oder über 360°.
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Ergebnis

Ergebnis
Doppelwinkel 2θ = 60°: sin 0,866025 · cos 0,5 · tan 1,73205 | Halbwinkel θ/2 = 15°: sin 0,258819 · cos 0,965926 · tan 0,267949
Alle Werte
GrößeWert
Winkel θ30°
sin θ0,5
cos θ0,866025
tan θ0,57735
sin 2θ0,866025
cos 2θ0,5
tan 2θ1,73205
sin(θ/2)0,258819
cos(θ/2)0,965926
tan(θ/2)0,267949
Rechenweg
  • Grundwerte: sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025, tan θ = 0,57735.
  • sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.
  • cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 0,866025² − 0,5² = 0,5; ebenso 2cos²θ − 1 = 0,5 und 1 − 2sin²θ = 0,5.
  • tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ) = 1,73205.
  • sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819.
  • cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926.
  • tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) = 0,5 / (1 + 0,866025) = 0,267949.
Das Vorzeichen der Halbwinkelwerte richtet sich nach dem Quadranten von θ/2, nicht von θ. Die drei Formen von cos 2θ liefern stets dasselbe Ergebnis.

So wird gerechnet

Die Doppelwinkelformeln berechnen Sinus, Kosinus und Tangens des doppelten Winkels aus den Werten des einfachen Winkels; die Halbwinkelformeln gehen den umgekehrten Weg.

Die Formeln

Doppelwinkel: sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ, cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ und tan 2θ = 2 · tan θ / (1 − tan²θ). Halbwinkel: sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2) und tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ). Welches Vorzeichen gilt, entscheidet der Quadrant von θ/2: Sinus ist in den Quadranten I und II positiv, Kosinus in I und IV.

Durchgerechnetes Beispiel

Für θ = 30° ist sin θ = 0,5, cos θ = 0,866025 und tan θ = 0,57735. Daraus folgt sin 60° = 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025, cos 60° = 0,866025² − 0,5² = 0,75 − 0,25 = 0,5 und tan 60° = 2 · 0,57735 / (1 − 1/3) = 1,73205. Für den Halbwinkel θ/2 = 15° gilt sin 15° = √((1 − 0,866025) / 2) = 0,258819, cos 15° = √((1 + 0,866025) / 2) = 0,965926 und tan 15° = 0,5 / 1,866025 = 0,267949.

Häufige Fragen

Wie lautet die Doppelwinkelformel für den Sinus?

sin 2θ = 2 · sin θ · cos θ. Für 30° ist das 2 · 0,5 · 0,866025 = 0,866025.

Welche Formeln gibt es für cos 2θ?

Drei gleichwertige: cos²θ − sin²θ, 2cos²θ − 1 und 1 − 2sin²θ. Für 30° ergibt jede 0,5.

Wie wählt man das Vorzeichen bei den Halbwinkelformeln?

Nach dem Quadranten von θ/2. Liegt θ/2 zwischen 0° und 90°, sind Sinus und Kosinus positiv.

Quellen und Rechtsgrundlagen

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