倍角の公式の計算
倍角の公式の計算では、sin 2θ・cos 2θ・tan 2θ と半角の値を求めます。たとえば θ = 30° のとき sin 2θ = 0.866025、cos 2θ = 0.5、sin(θ/2) = sin 15° = 0.258819 です。
計算方法
倍角の公式は、もとの角の値から2倍の角のサイン・コサイン・タンジェントを求める公式で、半角の公式はその逆向きの関係を与えます。
公式
倍角：sin 2θ = 2 × sin θ × cos θ、cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ、tan 2θ = 2 × tan θ / (1 − tan²θ)。半角：sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)、cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)、tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ)。符号は θ/2 の象限で決まり、サインは第1・第2象限で正、コサインは第1・第4象限で正です。
計算例
θ = 30° では sin θ = 0.5、cos θ = 0.866025、tan θ = 0.57735 です。したがって sin 60° = 2 × 0.5 × 0.866025 = 0.866025、cos 60° = 0.866025² − 0.5² = 0.75 − 0.25 = 0.5、tan 60° = 2 × 0.57735 / (1 − 1/3) = 1.73205 となります。半角 θ/2 = 15° では sin 15° = √((1 − 0.866025) / 2) = 0.258819、cos 15° = √((1 + 0.866025) / 2) = 0.965926、tan 15° = 0.5 / 1.866025 = 0.267949 です。
- θ = 45° では cos 2θ = 0 となり、tan 90° は定義されません。
- この公式を使うと、cos 30° から sin 15° のような正確な値が得られます。
- ラジアンで入力した場合は内部で度に換算して計算します。
よくある質問
サインの倍角の公式は何ですか。
sin 2θ = 2 × sin θ × cos θ です。30° なら 2 × 0.5 × 0.866025 = 0.866025 です。
cos 2θ にはどんな形がありますか。
同じ値になる3つの形 cos²θ − sin²θ、2cos²θ − 1、1 − 2sin²θ があります。30° ではどれも 0.5 です。
半角の公式の符号はどう選びますか。
θ/2 の象限で決めます。θ/2 が0°〜90°にあれば、サインもコサインも正です。
出典・根拠
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