PL

Współrzędne biegunowe: z (x, y) na (r, φ) i z powrotem

Kalkulator zamienia współrzędne biegunowe i kartezjańskie według wzorów z OpenStax Precalculus: x = r cos φ, y = r sin φ oraz r² = x² + y². Przykład: punkt (3, 3) ma r = 3√2 ≈ 4,2426 i φ = 45° (π/4), a punkt biegunowy (3, 90°) to (0, 3).

Przykład: Zamiana: kartezjańskie (x, y) → biegunowe (r, φ) · x 3 · y 3 · Jednostka kąta: stopnie → Wynik: r = 4,2426, φ = 45°. Źródło: OpenStax Precalculus 2e, 8.3 Polar Coordinates: x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y², tan θ = y/x; Examples (3, π/2) → (0, 3), (−2, 0) → (−2, 0), (3, 3) → (3√2, π/4) (read 09.10.2026). Stan na: .

Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
r = 4,2426, φ = 45°
Obliczenia
WielkośćWartość
r√(3² + 3²) = 4,2426
φ45°
φ w radianach0,7854 rad = 0,25 π
Wartości obliczone i zaokrąglone do 4 miejsc po przecinku; φ od 0° do mniej niż 360°, r ≥ 0. (r, φ + 360°) i (−r, φ + 180°) to ten sam punkt.

Jak to obliczamy

x = r cos φ, y = r sin φ – a w drugą stronę r = √(x² + y²), tg φ = y/x. We współrzędnych biegunowych punkt opisuje odległość r od początku układu (bieguna) i kąt φ mierzony od dodatniej półosi x przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Przy zamianie na biegunowe liczy się ćwiartka: sam tg φ = y/x nie odróżni (3, 3) od (−3, −3). Kalkulator patrzy na znaki x i y i podaje φ od 0° do 360°.

Przykłady: biegunowe na kartezjańskie i odwrotnie

DaneWynik
(x, y) = (3, 3)r = 4,2426 (3√2), φ = 45° = 0,7854 rad (π/4)
(x, y) = (−4, 3)r = 5, φ = 143,1301° = 2,4981 rad
(x, y) = (1, −1)r = 1,4142, φ = 315°
(x, y) = (0, −2)r = 2, φ = 270°
(r, φ) = (3, 90°)(x, y) = (0, 3)
(r, φ) = (−2, 0°)(x, y) = (−2, 0)
(r, φ) = (−1, 120°)(x, y) = (0,5, −0,866)
(r, φ) = (5, 30°)(x, y) = (4,3301, 2,5)

Wiersze 1, 5 i 6 to przykłady 3, 4 i 5 z OpenStax; (−1, 2π/3) pojawia się tam jako zadanie z odpowiedzią (1/2, −√3/2). Dla (−4, 3) arcus tangens z 3/−4 daje −36,87°, ale punkt leży w II ćwiartce, więc dodaje się 180°.

Całki podwójne i jakobian

Na analizie matematycznej współrzędne biegunowe wracają przy całkach podwójnych po kołach i pierścieniach. Po podstawieniu x = r cos φ, y = r sin φ jakobian przekształcenia wynosi r, więc dx dy zamienia się na r dr dφ. Pole koła o promieniu R wychodzi wtedy z całkowania r od 0 do R i φ od 0 do 2π: πR². Pominięcie tego r to częsty błąd w zadaniach.

Współrzędne biegunowe w AutoCAD

W AutoCAD punkt we współrzędnych biegunowych wpisuje się jako odległość i kąt rozdzielone znakiem <, np. @100<30 oznacza 100 jednostek od poprzedniego punktu pod kątem 30°. Domyślnie kąt liczy się od osi X przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tak samo jak tutaj: kalkulator zamieni (100, 30°) na przyrost x ≈ 86,6 i y = 50. Sinus i cosinus kątów znajdziesz w kalkulatorze sinus cosinus tangens, postać trygonometryczną liczb zespolonych w kalkulatorze liczb zespolonych.

Najczęściej zadawane pytania

Jak zamienić współrzędne kartezjańskie na biegunowe?

r = √(x² + y²), a φ z tg φ = y/x we właściwej ćwiartce. (3, 3): r = √18 = 4,2426, φ = 45°.

Jak zamienić współrzędne biegunowe na kartezjańskie?

x = r cos φ i y = r sin φ. (3, 90°) daje x = 0 i y = 3.

Dlaczego kąt punktu (−4, 3) to nie −36,87°?

Bo punkt leży w II ćwiartce. arctg(3/−4) daje −36,87°; po dodaniu 180° otrzymujesz właściwy kąt 143,1301°.

Ile wynosi jakobian współrzędnych biegunowych?

r. Dlatego w całce podwójnej dx dy = r dr dφ.

Czy r może być ujemne?

Tak, ujemne r wskazuje w przeciwną stronę: (−2, 0°) to punkt (−2, 0). Przy zamianie na biegunowe kalkulator zawsze podaje r ≥ 0.

Stopnie czy radiany?

Jedno i drugie. 45° = π/4 ≈ 0,7854 rad; wybrana jednostka dotyczy danych i wyniku.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia