Kalkulator granic
W tym kalkulatorze granic wyznaczasz granicę funkcji w punkcie lub w nieskończoności: wpisz funkcję i punkt, a zobaczysz wynik wraz z tabelą wartości z lewej i z prawej strony.
Źródło: Wikipedia – Grenzwert (Funktion): links-/rechtsseitiger Grenzwert, uneigentliche Grenzwerte. Stan na: .
Jak to obliczamy
Granica limx→a f(x) to wartość, do której zbliża się f(x), gdy x zbliża się do a. Dla sin(x)/x w punkcie 0 wynosi 1, mimo że funkcja nie jest tam określona.
Jak to liczymy
Kalkulator zbliża się do punktu z lewej i z prawej strony coraz mniejszymi odstępami (za każdym razem o połowę) albo dla ±∞ oddala się na zewnątrz. Z wartości funkcji wybiera zakres o najmniejszym rozrzucie, dzięki czemu nie jest ani zbyt zgrubny, ani zniekształcony błędami zaokrągleń. Gdy wartość bezwzględna stale rośnie, podaje ±∞; gdy lewa i prawa strona się różnią, granica nie istnieje.
Warto wiedzieć
- Granica istnieje tylko wtedy, gdy granice jednostronne są równe – dla 1/x w punkcie 0 tak nie jest.
- Wynik to obliczenie, a nie dowód. Na egzaminie nadal potrzebny jest tok rozwiązania (skracanie, reguła de L’Hospitala, twierdzenie o trzech ciągach).
- Jeśli kalkulator rozpozna znaną wartość, np. e, π lub prosty ułamek, dopisze ją jako przypuszczenie.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć granicę?
Podstawiasz wartości coraz bliższe punktowi albo przekształcasz wyrażenie (skracanie, de L’Hospital). Ten kalkulator robi przybliżenie numeryczne z obu stron.
Kiedy granica nie istnieje?
Gdy granice jednostronne się różnią (np. |x|/x w 0), gdy funkcja dąży do nieskończoności albo gdy stale oscyluje (sin(1/x) w 0).
Jak wpisać nieskończoność?
Jako punkt wpisz inf lub ∞ dla +∞ i -inf dla −∞. Kalkulator sprawdzi wtedy zachowanie dla bardzo dużych lub bardzo małych x.
Czym różni się granica od wartości funkcji?
Wartość funkcji to f(a); granica to zachowanie w pobliżu a. Przy luce takiej jak (x²−1)/(x−1) w punkcie 1 nie ma wartości funkcji, ale granica wynosi 2.
Źródła i podstawa prawna
- Wikipedia – Grenzwert (Funktion): links-/rechtsseitiger Grenzwert, uneigentliche Grenzwerte
- Wikipedia – Aitken's delta-squared process (Extrapolation geometrisch konvergierender Folgen)
Stan na: · Zasady redakcyjne
Podobne narzędzia
- Kalkulator pochodnychKalkulator pochodnych z krokami: wpisz funkcję, zobacz zastosowane reguły i otrzymaj pochodne do trzeciego rzędu oraz styczną w wybranym punkcie.
- Kalkulator całekKalkulator całek z krokami: funkcja pierwotna przez podstawienie, części lub ułamki proste, całka oznaczona z wykresem i sprawdzeniem przez pochodną.
- Wykres funkcji onlineRysuj wykres do trzech funkcji online, przybliżaj i przesuwaj, obliczaj numerycznie miejsca zerowe, maksima i minima, zapisuj wykres jako PNG lub SVG. Za darmo.
- Kalkulator ciągu liczbowegoKalkulator ciągu liczbowego: wpisz liczby, znajdź regułę (arytmetyczny, geometryczny, Fibonacciego, kwadratowy) i oblicz kolejne wyrazy, n-ty wyraz oraz sumę.
- Dzielenie wielomianów kalkulatorDzielenie wielomianów kalkulator z obliczeniami: iloraz i reszta, sprawdzenie, schemat Hornera oraz wszystkie pierwiastki z rozkładem na czynniki, w ułamkach.
- Kalkulator kołaKalkulator koła: promień, średnica, obwód i pole z jednej wartości, a do tego długość łuku, cięciwa, wycinek i odcinek koła dla dowolnego kąta. Za darmo.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Kalkulator uzupełnienia do dwóchKalkulator uzupełnienia do dwóch dla 4, 8, 16 lub 32 bitów: zamień ujemną liczbę dziesiętną na binarną lub odczytaj ciąg bitów, z U1, szesnastkowo i krokami.
- Kalkulator sprawności CarnotaSprawność Carnota 1 − T2/T1 silnika cieplnego oraz współczynniki wydajności chłodziarki i pompy ciepła Carnota, z ciepłem i pracą w jednym cyklu.