Kalkulator pierwiastków
Kalkulator pierwiastków obliczy każdy pierwiastek: wpisz liczbę i stopień – 2 dla kwadratowego, 3 dla sześciennego. Zobaczysz wynik, postać uproszczoną i tok obliczeń.
Przykład: Liczba pod pierwiastkiem 72 · Stopień pierwiastka n 2 → Wynik: √72 ≈ 8,48528137424. Źródło: Wolfram MathWorld – Square root. Stan na: .
Jak to obliczamy
Pierwiastek kwadratowy √a to nieujemna liczba, która pomnożona przez siebie daje a: √144 = 12, bo 12 · 12 = 144. Ogólnie pierwiastek n-tego stopnia ⁿ√a to liczba, której n-ta potęga wynosi a. Jeśli a nie jest kwadratem liczby całkowitej, pierwiastek jest niewymierny – √2 ≈ 1,41421356 – a kalkulator pokazuje go zaokrąglonego, uproszczonego i przybliżanego krok po kroku.
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Liczbę pod pierwiastkiem rozkładamy na czynniki pierwsze i wyłączamy każdy czynnik, który występuje wystarczająco wiele razy. Przykład: 72 = 2³ · 3² = 6² · 2, więc √72 = 6√2. Przy pierwiastku sześciennym potrzebne są trójki: 54 = 3³ · 2, więc ∛54 = 3∛2.
Pierwiastek bez kalkulatora: metoda Herona
Metoda Herona (babilońska) poprawia przybliżenie x wzorem xnowe = (x + a ÷ x) ÷ 2. Każdy krok mniej więcej podwaja liczbę poprawnych cyfr. Dla √2: 1 → 1,5 → 1,41667 → 1,4142157 → 1,41421356. Dla wyższych stopni kalkulator stosuje metodę Newtona xnowe = ((n − 1) · x + a ÷ xⁿ⁻¹) ÷ n.
Działania na pierwiastkach
- √(a · b) = √a · √b oraz √(a ÷ b) = √a ÷ √b (dla a, b ≥ 0)
- ⁿ√a = a^(1/n), czyli √a = a^0,5
- √(a²) = |a| – pierwiastek kwadratowy nigdy nie jest ujemny
- Liczby ujemne mają tylko pierwiastki nieparzystego stopnia: ∛−27 = −3; √−4 nie istnieje w ℝ.
Potęgi i logarytmy policzysz w kalkulatorze potęg, całe wyrażenia w kalkulatorze naukowym, a pierwiastki w trójkącie prostokątnym w kalkulatorze twierdzenia Pitagorasa.
Najczęściej zadawane pytania
Jak obliczyć pierwiastek bez kalkulatora?
Metodą Herona: wybierz przybliżenie x i powtarzaj x = (x + a ÷ x) ÷ 2. Dla √10, zaczynając od 3: 3 → 3,1667 → 3,16228 – pięć poprawnych cyfr po trzech krokach.
Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek?
Zapisz liczbę jako kwadrat razy reszta i wyłącz kwadrat: √50 = √(25 · 2) = 5√2, √72 = √(36 · 2) = 6√2.
Czy istnieje pierwiastek z liczby ujemnej?
Kwadratowy – nie w liczbach rzeczywistych (√−4 nie istnieje). Sześcienny – tak: ∛−8 = −2, bo (−2)³ = −8.
Jak obliczyć pierwiastek sześcienny?
Wpisz stopień 3. ∛27 = 3, bo 3 · 3 · 3 = 27. Gdy wynik nie jest całkowity, np. ∛54 = 3∛2 ≈ 3,78, kalkulator go upraszcza i przybliża.
Czy pierwiastek to potęga 0,5?
Tak: √a = a^(1/2) = a^0,5, a ogólnie ⁿ√a = a^(1/n).
Źródła i podstawa prawna
- Wolfram MathWorld – Square root
- Wolfram MathWorld – nth root
- Wolfram MathWorld – Newton’s iteration (Heron’s method)
- DLMF §4.2: NIST Digital Library of Mathematical Functions – powers and roots
Stan na:
Podobne narzędzia
- Kalkulator potęg krok po krokuKalkulator potęg: oblicz potęgi, pierwiastki n-tego stopnia i logarytmy o dowolnej podstawie – krok po kroku, także z wykładnikiem ujemnym i ułamkowym.
- Kalkulator naukowy onlineDarmowy kalkulator naukowy online: sin, cos, tg w stopniach lub radianach, log, ln, pierwiastki, potęgi, silnia i symbol Newtona – z tokiem obliczeń.
- Twierdzenie Pitagorasa – kalkulatorKalkulator z twierdzenia Pitagorasa: wpisz dwa boki, a dostaniesz trzeci, kąty, pole i wysokość – z dokładnym pierwiastkiem, obliczeniami i sprawdzeniem.
- Równanie kwadratowe – kalkulatorRozwiąż równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: delta, pierwiastki, dokładna postać, wierzchołek paraboli, postać iloczynowa i rozwiązania zespolone.
- Kalkulator onlineDarmowy kalkulator online: wpisz lub klikaj, a wynik pojawi się od razu – z kolejnością działań, nawiasami, procentami, pierwiastkiem i historią.
- Przelicznik AWG na mm2: tabela przekrojów i średnicPrzelicz AWG na mm² i mm² na AWG, ze średnicą i rezystancją miedzi, pełną tabelą od 4/0 do 40 AWG i najbliższym znormalizowanym przekrojem metrycznym.