PL

Pole sześciokąta foremnego – kalkulator

Oblicz pole sześciokąta foremnego i wszystkie pozostałe wymiary na podstawie jednej danej: boku, obwodu, pola, promienia okręgu wpisanego, rozwartości klucza lub dłuższej przekątnej. Przykład: bok 5 daje obwód 30, pole 64,9519 i odległość między przeciwległymi bokami 8,6603.

Przykład: Znana wielkość: bok a · Wartość 5 → Wynik: Bok a = 5 · pole P = 64,9519 · obwód L = 30. Źródło: Weisstein, Eric W.: Hexagon. MathWorld – A Wolfram Web Resource (promień okręgu wpisanego, promień okręgu opisanego, pole sześciokąta foremnego). Stan na: .

Dowolna jednostka długości – dla pola odpowiednia jednostka kwadratowa. Wyniki są w tej samej jednostce.
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Wynik
Bok a = 5 · pole P = 64,9519 · obwód L = 30
Wszystkie wymiary sześciokąta foremnego
WielkośćWzórWartość
Boka5
ObwódU = 6 · a30
PoleA = (3 · √3 ÷ 2) · a²64,9519
Dłuższa przekątna (od wierzchołka do wierzchołka)d = 2 · a10
Krótsza przekątna = odległość między bokamid₂ = √3 · a8,6603
Promień okręgu wpisanegor = (√3 ÷ 2) · a4,3301
Promień okręgu opisanegoR = a5
Kąt wewnętrzny(6 − 2) · 180° ÷ 6120°
Obliczenia krok po kroku
  • Obwód: L = 6 × 5 = 30.
  • Pole: P = (3 · √3 ÷ 2) × a² = 2,598076 × 25 = 64,9519.
  • Przekątne: d = 2 × 5 = 10; d₂ = √3 × 5 = 8,6603; promień okręgu wpisanego r = d₂ ÷ 2 = 4,3301.
Dotyczy sześciokąta foremnego (sześć równych boków, wszystkie kąty 120°). Długości są w podanej jednostce, pole w odpowiadającej jej jednostce kwadratowej. Wartości zaokrąglono do czterech miejsc po przecinku.

Jak to obliczamy

Sześciokąt foremny ma sześć równych boków i sześć kątów wewnętrznych po 120°. Składa się z sześciu trójkątów równobocznych stykających się w środku – dlatego promień okręgu opisanego jest dokładnie równy bokowi. Wystarczy więc jedna znana wielkość, aby obliczyć wszystkie pozostałe.

Wzory

Wzór na pole wynika wprost z sześciu trójkątów: każdy ma pole (√3 ÷ 4) · a², a sześć daje (3 · √3 ÷ 2) · a². Równoważnie P = L · r ÷ 2.

Przykład

Bok a = 5 cm: obwód L = 6 × 5 = 30 cm. Pole P = 2,598076 × 25 = 64,9519 cm². Dłuższa przekątna d = 10 cm, odległość między bokami d₂ = 1,732051 × 5 = 8,6603 cm, promień okręgu wpisanego r = 4,3301 cm.

Obliczenia w drugą stronę

Gdy znane jest pole, wyznacza się bok: a = √(P ÷ 2,598076). Pole 100 m² daje a = √38,49 = 6,2040 m. W nakrętce sześciokątnej rozmiar klucza to odległość między przeciwległymi ściankami: przy rozwartości 17 mm bok ma 17 ÷ 1,732051 = 9,8150 mm, a wymiar po narożach 19,6299 mm – tyle miejsca potrzeba, by nakrętka mogła się obracać.

Gdzie spotyka się sześciokąty

Sześciokąty wypełniają płaszczyznę bez przerw, dlatego widać je w plastrach miodu, kostce brukowej, płytkach i planszach do gier. Przy układaniu płytek oblicz pole jednej płytki ze wzoru powyżej i podziel przez nie całą powierzchnię; dolicz zapas na docinki przy krawędziach.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć pole sześciokąta?

W sześciokącie foremnym mnoży się kwadrat boku przez 2,598076 (czyli 3 · √3 ÷ 2). Dla boku 5 pole wynosi 2,598076 × 25 = 64,9519.

Jak obliczyć bok, znając pole?

Podziel pole przez 2,598076 i wyciągnij pierwiastek. Pole 100 daje bok 6,2040.

Czym różni się dłuższa przekątna od krótszej?

Dłuższa przekątna łączy przeciwległe wierzchołki, przechodzi przez środek i jest dwa razy dłuższa od boku. Krótsza łączy dwa wierzchołki, między którymi leży jeden wierzchołek; jest równa odległości między przeciwległymi bokami, czyli √3 razy bok. Dla boku 5 to 10 i 8,6603.

Ile mają kąty sześciokąta foremnego?

Każdy kąt wewnętrzny ma 120°, bo suma kątów sześciokąta to (6 − 2) × 180° = 720°. Każdy kąt zewnętrzny i każdy kąt środkowy ma 60°.

Czy to działa dla sześciokątów nieforemnych?

Nie. Przy różnych bokach lub kątach jedna wielkość nie wystarczy. Podziel figurę na trójkąty i zsumuj ich pola albo skorzystaj ze współrzędnych.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia