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二次方程式の計算（解の公式）

二次方程式の計算は、式を ax² + bx + c = 0 の形にして a・b・c を入力してください。判別式、解、ルートを使った正確な形と、すべての途中式が表示されます。

計算例：a（x² の係数） 2 · b（x の係数） -8 · c（定数項） 6 → 解：x₁ = 1; x₂ = 3。出典：Wolfram MathWorld – Quadratic formula and discriminant。更新日：

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結果

解
x₁ = 1; x₂ = 3
判別式 D
D = 16 > 0 → 異なる2つの実数解
放物線の頂点
S(2 | −2)
因数分解した形
2 · (x − 1) · (x − 3)
解と係数の関係
x₁ + x₂ = 4; x₁ · x₂ = 3
途中式
  • 2x² − 8x + 6 = 0
  • D = b² − 4ac = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16
  • x = (−b ± √D) ÷ (2a) = (8 ± √16) ÷ 4
  • x₁ = (8 − 4) ÷ 4 ≈ 1; x₂ = (8 + 4) ÷ 4 ≈ 3
  • a でわると x² + px + q = 0（p = −4、q = 3）
  • x = −p/2 ± √((p/2)² − q) = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
  • 確かめ（解と係数の関係）：x₁ + x₂ = −b ÷ a、x₁ × x₂ = c ÷ a
a > 0 なので放物線は下に凸で、頂点が最小値です。

計算方法

二次方程式 ax² + bx + c = 0 は、解の公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) で解けます。判別式 D = b² − 4ac が正なら異なる2つの実数解、0なら重解、負なら実数解はありません。例：2x² − 8x + 6 = 0 は D = 16 で、解は x = 1、3 です。

ax² + bx + c = 0 の形にする

正確な形・頂点・因数分解

係数が整数なら、解を正確な形でも表示します。分数（6x² − x − 2 = 0 → −1/2、2/3）や、簡単にしたルート（x² − 3x + 1 = 0 → (3 ± √5) ÷ 2）です。さらに頂点 (−b/(2a), c − b²/(4a))、因数分解 a(x − x₁)(x − x₂)、解と係数の関係による確かめも出します。D < 0 のときは 1 ± 2i のような虚数解（高校数学Ⅱ）も表示します。

計算の精度

b² が 4ac よりずっと大きいとき、公式にそのまま代入すると桁落ちが起きます。そこで Numerical Recipes の安定な方法 q = −(b + sgn(b)√D)/2、x₁ = q/a、x₂ = c/q を使っています。途中式には教科書どおりの解の公式を表示します。

放物線のグラフは関数グラフ、ルートの計算は累乗計算、分数の確認は分数計算で行えます。

よくある質問

二次方程式の解の公式は？

ax² + bx + c = 0 の解は x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) です。b が偶数（b = 2b′）なら x = (−b′ ± √(b′² − ac)) ÷ a も使えます。

判別式で何がわかりますか？

D = b² − 4ac の符号で実数解の個数がわかります。D > 0 なら2つ、D = 0 なら重解1つ、D < 0 なら実数解なしです。

因数分解で解くには？

x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = 0 のように積の形にすれば x = 1、3。x² − 9 = 0 は x = ±3 とすぐに求められます。

判別式が負のときの解は？

虚数単位 i を使って x = (−b ± i√(−D)) ÷ (2a) となります。x² − 2x + 5 = 0 なら x = 1 ± 2i です。

頂点の座標の求め方は？

x 座標は −b ÷ (2a)、y 座標はそれを代入した値です。2x² − 8x + 6 なら頂点は (2, −2) です。

出典・根拠

更新日：

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