単回帰分析の計算
この単回帰分析の計算ツールは、データの組に直線 y = m · x + b を当てはめ、R²・標準誤差・区間つきの予測・残差・散布図を表示します。
出典：NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Linear Least Squares Regression。更新日：
計算方法
サンプルデータの回帰直線は y = 1.012 · x + 1.321、R² = 0.92 です。回帰直線とは、すべての点との縦方向の距離の二乗和を最小にする直線のことです（最小二乗法）。
計算のしくみ
傾きは m = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)²、切片は b = ȳ − m · x̄ です。R² は y のばらつきのうち x で説明できる割合です。推定の標準誤差は s = √(Σ 残差² ÷ (n − 2)) で、ここから傾きと切片の標準誤差、傾きの95 %区間（自由度 n − 2 の t 分布）、傾きが0と異なるかを見る p 値が求まります。
知っておくと便利
- 予測は x の平均に近いほど正確で、データの範囲から大きく外れる（外挿）と不確かになります。区間が広がるのはそのためです。
- 平均の区間は x における真の直線の位置を、予測区間は新しい1個の観測値を表し、後者のほうが広くなります。
- R² が高くても原因を証明するわけではなく、直線的な関係を測るだけです。外れ値や曲がりは散布図と残差で確認してください。
- 予測を伴わない関係の強さ（ピアソンとスピアマンの相関）は相関係数の計算ツールで求められます。
よくある質問
単回帰分析の計算方法は？
傾き m = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)²、切片 b = ȳ − m · x̄ です。このツールは何組でも計算し、主な値を表にまとめます。
決定係数 R² は何を表しますか？
y のばらつきのうち回帰直線で説明できる割合です。R² = 0.85 なら、ばらつきの85 %が直線的な関係によるものです。
回帰直線で予測するには？
x を y = m · x + b に代入します。「予測する x」の欄に入力すると、予測値と、平均および1個の値に対する95 %区間が表示されます。
データは何組必要ですか？
標準誤差と区間には3組以上が必要です。2組だと直線は2点を通るだけです。組が多いほど推定は信頼できます。
出典・根拠
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods – Linear Least Squares Regression
- Wikipedia – Einfache lineare Regression （数式、標準誤差、信頼区間と予測区間）
- Wikipedia – Simple linear regression (confidence and prediction intervals)
更新日： · 編集方針
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