PL

Układ równań – kalkulator

Wpisz równania tak, jak w zeszycie. Ten układ równań kalkulator rozwiązuje dokładnie metodą eliminacji Gaussa i pokazuje każdą operację na wierszach.

Źródło: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Stan na: .

Niewiadome jako litery (x, y, z … lub x1, x2), liczby jak 0,5 czy 3/4; wyrazy mogą stać po obu stronach.
Moje narzędziaWpisane dane są zapisywane tylko w tej przeglądarce.

Wynik

Rozwiązanie
x = 3; y = 2
Rodzaj układu
układ oznaczony (jedno rozwiązanie)
Wyznacznik macierzy współczynników
−5
Rozwiązanie krok po kroku (Gauss-Jordan)
  • Macierz rozszerzona: (2 3 | 12) (1 −1 | 1)
  • W1 : 2 → (1 3/2 | 6) (1 −1 | 1)
  • W2 − W1 → (1 3/2 | 6) (0 −5/2 | −5)
  • W2 : (−5/2) → (1 3/2 | 6) (0 1 | 2)
  • W1 − (3/2) · W2 → (1 0 | 3) (0 1 | 2)
Sprawdzenie
  • 2x + 3y = 12: 12 = 12 ✓
  • x − y = 1: 1 = 1 ✓
Rząd = liczba niewiadomych = 2, więc jest dokładnie jedno rozwiązanie (twierdzenie Kroneckera-Capellego).

Jak to obliczamy

Układ równań liniowych jest oznaczony (jedno rozwiązanie), sprzeczny (brak rozwiązań) albo nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań). Rozstrzyga to metoda eliminacji Gaussa, która sprowadza układ do postaci schodkowej bez zmiany zbioru rozwiązań.

Metoda Gaussa

  1. Zapisać współczynniki i wyrazy wolne w macierzy rozszerzonej: 2x + 3y = 12 i x − y = 1 to (2 3 | 12) i (1 −1 | 1).
  2. Zamieniać wiersze, dzielić wiersz przez liczbę lub odejmować od wiersza wielokrotność innego, aż pod i nad przekątną będą zera.
  3. Gdy po lewej zostanie macierz jednostkowa, po prawej jest rozwiązanie: x = 3, y = 2.

Kalkulator liczy na dokładnych ułamkach, bez błędów zaokrągleń, i sprawdza rozwiązanie w każdym równaniu wyjściowym.

Inne metody

Przy dwóch równaniach w szkole stosuje się też metodę podstawiania i metodę przeciwnych współczynników – ta druga to właśnie krok Gaussa „odjąć wielokrotność wiersza”. Dla układów kwadratowych są też wzory Cramera z wyznacznikami: jeśli wyznacznik wynosi 0, nie ma jednego rozwiązania.

Brak rozwiązań czy nieskończenie wiele?

Jeśli wiersz przyjmie postać 0 = 5, równania są sprzeczne: brak rozwiązań (dwie proste równoległe). Jeśli 0 = 0, jedno równanie było zbędne; część niewiadomych pozostaje dowolna i rozwiązań jest nieskończenie wiele. Pojedyncze równanie kwadratowe rozwiążesz osobno, ułamki w kalkulatorze ułamków, a dowolne wyrażenia w kalkulatorze naukowym.

Najczęściej zadawane pytania

Jak rozwiązać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi?

Np. metodą przeciwnych współczynników: 2x + 3y = 12 i x − y = 1. Drugie mnożymy przez 3 i dodajemy: 5x = 15, więc x = 3 i y = 2.

Na czym polega metoda Gaussa?

Na przekształcaniu wierszy tak, by układ miał postać schodkową; potem niewiadome wyznacza się po kolei.

Kiedy układ jest sprzeczny?

Gdy pojawi się wiersz 0 = c, c ≠ 0: rząd macierzy rozszerzonej jest większy niż rząd macierzy współczynników.

Kiedy układ jest nieoznaczony?

Gdy nie jest sprzeczny, ale ma mniej niezależnych równań niż niewiadomych. Pozostałe niewiadome to parametry.

Czy mogę wpisać ułamki i liczby dziesiętne?

Tak, np. 0,5x + 3/4y = 2. Obliczenia są dokładne na ułamkach, a wynik pojawia się jako ułamek i liczba dziesiętna.

Źródła i podstawa prawna

Stan na: · Zasady redakcyjne

Podobne narzędzia