Risolvere sistemi lineari
Per risolvere sistemi lineari scrivi le equazioni come sul quaderno. Lo strumento applica il metodo di Gauss in modo esatto e mostra ogni operazione sulle righe.
Fonte: Wolfram MathWorld – Gaussian elimination. Aggiornato al: .
Come si calcola
Un sistema lineare può essere determinato (una soluzione), impossibile (nessuna) o indeterminato (infinite soluzioni). Il metodo di Gauss lo stabilisce trasformando il sistema in uno equivalente a scala.
Il metodo di Gauss
- Scrivere coefficienti e termini noti nella matrice completa: 2x + 3y = 12 e x − y = 1 diventano (2 3 | 12) e (1 −1 | 1).
- Scambiare righe, dividere una riga per un numero o sottrarre a una riga un multiplo di un’altra, fino ad avere zeri sotto e sopra la diagonale.
- Quando a sinistra resta la matrice identità, a destra c’è la soluzione: x = 3, y = 2.
Lo strumento calcola con frazioni esatte, senza errori di arrotondamento, e verifica la soluzione in ogni equazione di partenza.
Altri metodi
Con due equazioni a scuola si usano anche i metodi di sostituzione, confronto e riduzione (addizione e sottrazione). Danno tutti lo stesso risultato; la riduzione è proprio il passo di Gauss «sottrarre un multiplo di una riga». Per i sistemi quadrati c’è anche il metodo di Cramer con i determinanti: se il determinante è 0, non c’è una soluzione unica.
Nessuna soluzione o infinite?
Se una riga diventa 0 = 5, le equazioni si contraddicono: sistema impossibile (due rette parallele). Se diventa 0 = 0, un’equazione era superflua; alcune incognite restano libere e le soluzioni sono infinite. Una singola equazione di secondo grado si risolve con le equazioni di secondo grado, le frazioni con il calcolo frazioni e ogni espressione con la calcolatrice scientifica.
Domande frequenti
Come si risolve un sistema di due equazioni in due incognite?
Ad esempio per riduzione: 2x + 3y = 12 e x − y = 1. Si moltiplica la seconda per 3 e si somma: 5x = 15, quindi x = 3 e y = 2.
Che cos’è il metodo di Gauss?
Un metodo che, con operazioni sulle righe, porta il sistema in forma a scala; poi le incognite si ricavano una alla volta.
Quando un sistema è impossibile?
Quando compare una riga 0 = c con c ≠ 0: il rango della matrice completa supera quello della matrice incompleta.
Quando un sistema è indeterminato?
Quando è compatibile ma ha meno equazioni indipendenti che incognite. Le incognite in più sono parametri liberi.
Posso inserire frazioni e decimali?
Sì, ad es. 0,5x + 3/4y = 2. Il calcolo è esatto con le frazioni e la soluzione compare in frazione e in decimale.
Fonti e riferimenti normativi
- Wolfram MathWorld – Gaussian elimination
- Wolfram MathWorld – Gauss-Jordan elimination
- Wolfram MathWorld – Linear system of equations
- Wolfram MathWorld – Cramer’s rule
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