Distância entre ponto e reta
Esta calculadora encontra a distância entre ponto e reta com a fórmula d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Do ponto (5; 5) à reta 3x + 4y − 10 = 0 a distância é 5. Ela também aceita a reta como y = mx + n ou por dois pontos, funciona no espaço e mostra o pé da perpendicular.
Exemplo: Reta dada como: Equação geral ax + by + c = 0 · Ponto: x₀ 5 · Ponto: y₀ 5 · a (coeficiente de x) 3 · b (coeficiente de y) 4 · c (termo independente) -10 → Distância: d = 5. Fonte: OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Atualizado em: .
Como o cálculo é feito
A distância entre o ponto P(x₀; y₀) e a reta ax + by + c = 0 é d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²): o valor absoluto do ponto substituído na equação, dividido pelo comprimento do vetor normal (a; b). É o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto à reta, como define o livro didático OpenStax Calculus. O livro traz a fórmula para ponto e plano, |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²); com c = 0 e z₀ = 0 resulta a fórmula no plano (calculado).
Exemplos de distância entre ponto e reta
| Reta | Ponto | Distância |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1; 7) | 3,4 |
Passo a passo com a primeira linha: numerador |3 · 5 + 4 · 5 − 10| = 25, denominador √(3² + 4²) = 5, distância 25 ÷ 5 = 5. Se a reta vem como y = mx + n, ela vira mx − y + n = 0; se vem por dois pontos A e B, a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂ e c = x₂y₁ − x₁y₂. Distância 0 significa que o ponto pertence à reta.
Distância entre ponto e reta no espaço
No espaço não existe equação ax + by + c = 0. O OpenStax usa um ponto P da reta e o vetor diretor v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, porque PM e v formam um paralelogramo de base ‖v‖ e altura d. No exemplo 2.47 do livro, M(1; 1; 3), P(3; −1; 3) e v = ⟨4; 2; 1⟩ dão PM × v = 2i + 2j − 12k e d = √152 / √21 ≈ 2,69. Escolha o modo «No espaço» para esse caso.
A distância entre dois pontos sai da calculadora de distância entre dois pontos; a equação de uma reta a partir de pontos ou do coeficiente angular, da calculadora da equação da reta.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da distância entre ponto e reta?
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) para a reta ax + by + c = 0 e o ponto (x₀; y₀). Do ponto (5; 5) à reta 3x + 4y − 10 = 0: 25 ÷ 5 = 5.
Como usar a fórmula se a reta está na forma reduzida y = mx + n?
Passe para a forma geral mx − y + n = 0, ou seja, a = m, b = −1 e c = n. A calculadora faz isso sozinha no modo «Equação reduzida».
Por que se usa o módulo (valor absoluto)?
Distância nunca é negativa. O sinal de ax₀ + by₀ + c só indica de que lado da reta o ponto está.
O que é o pé da perpendicular?
O ponto da reta mais próximo do ponto dado; é onde a perpendicular corta a reta. Para (5; 5) e 3x + 4y − 10 = 0 é (2; 1).
Como calcular no espaço?
Com um ponto P da reta e o vetor diretor v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, teorema 2.12). No exemplo do livro o resultado é cerca de 2,69.
Fontes e base legal
Última atualização: · Princípios editoriais
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