Noktanın doğruya uzaklığı
Bu araç noktanın doğruya uzaklığını d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) formülüyle hesaplar. (5; 5) noktasının 3x + 4y − 10 = 0 doğrusuna uzaklığı 5’tir. Doğruyu y = mx + n biçiminde ya da iki noktayla da kabul eder, uzayda da çalışır ve dikme ayağını gösterir.
Örnek: Doğru nasıl verildi: Genel denklem ax + by + c = 0 · Nokta: x₀ 5 · Nokta: y₀ 5 · a (x’in katsayısı) 3 · b (y’nin katsayısı) 4 · c (sabit terim) -10 → Uzaklık: d = 5. Kaynak: OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Güncelleme: .
Nasıl hesaplanır?
P(x₀; y₀) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)’dir: nokta denklemde yerine yazılır, mutlak değeri alınır ve normal vektörün (a; b) uzunluğuna bölünür. Bu, OpenStax Calculus ders kitabının tanımladığı gibi noktayı doğruya bağlayan dik doğru parçasının uzunluğudur. Kitap formülü nokta ile düzlem için verir: |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²); c = 0 ve z₀ = 0 alınınca düzlemdeki formül elde edilir (hesaplanmış).
Noktanın doğruya uzaklığı örnekleri
| Doğru | Nokta | Uzaklık |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1; 7) | 3,4 |
İlk satır adım adım: pay |3 · 5 + 4 · 5 − 10| = 25, payda √(3² + 4²) = 5, uzaklık 25 ÷ 5 = 5. Doğru y = mx + n olarak verilmişse mx − y + n = 0 biçimine getirilir; A ve B noktalarından geçiyorsa a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂ ve c = x₂y₁ − x₁y₂ olur. Uzaklığın 0 çıkması noktanın doğru üzerinde olduğunu gösterir.
Uzayda noktanın doğruya uzaklığı
Uzayda ax + by + c = 0 biçiminde bir doğru denklemi yoktur. OpenStax doğru üzerinde bir P noktası ve doğrultu vektörü v alır: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, çünkü PM ve v tabanı ‖v‖, yüksekliği d olan bir paralelkenar oluşturur. Kitaptaki örnek 2.47’de M(1; 1; 3), P(3; −1; 3) ve v = ⟨4; 2; 1⟩ için PM × v = 2i + 2j − 12k ve d = √152 / √21 ≈ 2,69 bulunur. Bu durumda «Uzayda» modunu seçin.
İki nokta arasındaki uzaklık iki nokta arası uzaklık hesaplama ile, noktalardan ya da eğimden doğru denklemi doğru denklemi aracıyla bulunur.
Sıkça sorulan sorular
Noktanın doğruya uzaklığı formülü nedir?
ax + by + c = 0 doğrusu ve (x₀; y₀) noktası için d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). (5; 5) noktasından 3x + 4y − 10 = 0 doğrusuna: 25 ÷ 5 = 5.
Doğru y = mx + n biçimindeyse formül nasıl kullanılır?
Genel biçime getirilir: mx − y + n = 0, yani a = m, b = −1, c = n. Araç bunu «y = mx + n biçimi» modunda kendisi yapar.
Neden mutlak değer alınır?
Uzaklık hiçbir zaman negatif olmaz. ax₀ + by₀ + c ifadesinin işareti yalnızca noktanın doğrunun hangi tarafında olduğunu gösterir.
Dikme ayağı nedir?
Doğrunun verilen noktaya en yakın noktası; dikmenin doğruyu kestiği yerdir. (5; 5) ve 3x + 4y − 10 = 0 için (2; 1)’dir.
Uzayda nasıl hesaplanır?
Doğru üzerindeki bir P noktası ve doğrultu vektörü v ile: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, teorem 2.12). Kitaptaki örnekte sonuç yaklaşık 2,69’dur.
Kaynaklar ve yasal dayanak
Güncelleme: · Editoryal ilkeler
Benzer araçlar
- İki nokta arası uzaklık hesaplamaİki nokta arası uzaklık hesaplama düzlemde ve uzayda: koordinatları girin, uzunluğu, orta noktayı ve eğimi işlem adımlarıyla görün.
- Doğru denklemi yazma aracıDoğru denklemi iki noktadan ya da bir nokta ve eğimden yazın: y = mx + n, genel denklem, parametrik biçim, kök ve işlem adımları anında.
- Nokta eğim formu hesaplamaNokta eğim formu hesaplama: iki noktadan veya nokta ile eğimden y − y₁ = m(x − x₁) doğru denklemini, y = mx + n biçimi ve adımlarla birlikte bulun.
- Vektör hesaplama aracı (adım adım)Vektör hesaplama 2B ve 3B: iki vektörün toplamı, skaler çarpımı, vektörel çarpımı, uzunluğu, açısı ve izdüşümü – anında ve işlem adımlarıyla.
- Eğim hesaplamaEğim hesaplama: yükseklik ve uzunluktan, yüzdeden, açıdan veya 1 : n oranından eğimi bulun – yüzde ve dereceye çevirme, hesaplama adımları ve değer tablosuyla.
- Çember denklemiÇember denklemi: merkez ve yarıçaptan, genel denklemden ya da üç noktadan; iki biçimiyle, çevre, alan ve bir noktanın çembere göre konumuyla birlikte.
- Online hesap makinesiÜcretsiz online hesap makinesi: yazın veya dokunun, sonuç anında gelsin – işlem önceliği, parantez, yüzde, karekök, adım adım çözüm ve geçmiş.
- Deltoid hesaplamaDeltoid hesaplama aracı: köşegenlerden, kenarlar ve simetri ekseninden ya da kenarlar ve açıdan alan, çevre ve açıları adım adım bulun, kayıt gerekmez.
- Basamak değeri tablosuBasamak değeri tablosu: sayı yazın veya pul koyun, milyarlardan binde birlere her basamağı okuyun, alıştırma yapın ve tabloyu PDF olarak yazdırın.