Distancia de un punto a una recta
Esta calculadora halla la distancia de un punto a una recta con la fórmula d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Del punto (5; 5) a la recta 3x + 4y − 10 = 0 hay una distancia de 5. También acepta la recta como y = mx + n o por dos puntos, trabaja en el espacio y da el pie de la perpendicular.
Ejemplo: Recta dada como: Ecuación general ax + by + c = 0 · Punto: x₀ 5 · Punto: y₀ 5 · a (coeficiente de x) 3 · b (coeficiente de y) 4 · c (término independiente) -10 → Distancia: d = 5. Fuente: OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Actualizado: .
Cómo se calcula
La distancia de un punto P(x₀; y₀) a la recta ax + by + c = 0 es d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²): el valor absoluto de sustituir el punto en la ecuación, dividido entre la longitud del vector normal (a; b). Es la longitud del segmento perpendicular que une el punto con la recta, como la define el libro de texto OpenStax Calculus. El libro da la fórmula para un punto y un plano, |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²); con c = 0 y z₀ = 0 resulta la fórmula en el plano (calculado).
Ejemplos de distancia de un punto a una recta
| Recta | Punto | Distancia |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1; 7) | 3,4 |
Paso a paso con la primera fila: numerador |3 · 5 + 4 · 5 − 10| = 25, denominador √(3² + 4²) = 5, distancia 25 ÷ 5 = 5. Si la recta viene como y = mx + n, se pasa a mx − y + n = 0; si viene por dos puntos A y B, a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂ y c = x₂y₁ − x₁y₂. Una distancia 0 significa que el punto está sobre la recta.
Distancia de un punto a una recta en el espacio
En el espacio no hay ecuación ax + by + c = 0. OpenStax toma un punto P de la recta y su vector director v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, porque PM y v forman un paralelogramo de base ‖v‖ y altura d. En su ejemplo 2.47, M(1; 1; 3), P(3; −1; 3) y v = ⟨4; 2; 1⟩ dan PM × v = 2i + 2j − 12k y d = √152 / √21 ≈ 2,69. Elige el modo «En el espacio» para este caso.
La distancia entre dos puntos sale de la calculadora de distancia entre dos puntos; la ecuación de una recta a partir de puntos o de la pendiente, con la calculadora de la ecuación de la recta.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la distancia de un punto a una recta?
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) para la recta ax + by + c = 0 y el punto (x₀; y₀). Del punto (5; 5) a 3x + 4y − 10 = 0: 25 ÷ 5 = 5.
¿Cómo uso la fórmula si la recta es y = mx + n?
Pásala a la forma general mx − y + n = 0, es decir a = m, b = −1 y c = n. La calculadora lo hace sola en el modo «Forma explícita».
¿Por qué se usa el valor absoluto?
Una distancia nunca es negativa. El signo de ax₀ + by₀ + c solo indica a qué lado de la recta está el punto.
¿Qué es el pie de la perpendicular?
El punto de la recta más cercano al punto dado; ahí la perpendicular corta la recta. Para (5; 5) y 3x + 4y − 10 = 0 es (2; 1).
¿Cómo se calcula en el espacio?
Con un punto P de la recta y su vector director v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, teorema 2.12). Para el ejemplo del libro resulta unos 2,69.
Fuentes y base legal
Última actualización: · Principios editoriales
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