Distanza punto retta
Questo strumento calcola la distanza punto retta con la formula d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Dal punto (5; 5) alla retta 3x + 4y − 10 = 0 la distanza è 5. Accetta anche la retta nella forma y = mx + q o per due punti, funziona nello spazio e indica il piede della perpendicolare.
Esempio: Retta data come: Forma implicita ax + by + c = 0 · Punto: x₀ 5 · Punto: y₀ 5 · a (coefficiente di x) 3 · b (coefficiente di y) 4 · c (termine noto) -10 → Distanza: d = 5. Fonte: OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Aggiornato al: .
Come si calcola
La distanza del punto P(x₀; y₀) dalla retta ax + by + c = 0 è d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²): il valore assoluto del punto sostituito nell’equazione, diviso per la lunghezza del vettore normale (a; b). È la lunghezza del segmento perpendicolare che unisce il punto alla retta, come la definisce il libro di testo OpenStax Calculus. Il libro dà la formula per punto e piano, |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²); con c = 0 e z₀ = 0 si ottiene la formula nel piano (calcolato).
Esempi di distanza punto retta
| Retta | Punto | Distanza |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1; 7) | 3,4 |
Passo per passo con la prima riga: numeratore |3 · 5 + 4 · 5 − 10| = 25, denominatore √(3² + 4²) = 5, distanza 25 : 5 = 5. Se la retta è data come y = mx + q, si porta nella forma mx − y + q = 0; se è data da due punti A e B, a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂ e c = x₂y₁ − x₁y₂. Una distanza 0 significa che il punto sta sulla retta.
Distanza punto retta nello spazio
Nello spazio non esiste un’equazione ax + by + c = 0. OpenStax usa un punto P della retta e il vettore direzione v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, perché PM e v formano un parallelogramma di base ‖v‖ e altezza d. Nel suo esempio 2.47, M(1; 1; 3), P(3; −1; 3) e v = ⟨4; 2; 1⟩ danno PM × v = 2i + 2j − 12k e d = √152 / √21 ≈ 2,69. Per questo caso scegli la modalità «Nello spazio».
La distanza tra due punti si trova con la distanza tra due punti; l’equazione di una retta da punti o coefficiente angolare con l’equazione della retta.
Domande frequenti
Qual è la formula della distanza punto retta?
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) per la retta ax + by + c = 0 e il punto (x₀; y₀). Dal punto (5; 5) a 3x + 4y − 10 = 0: 25 : 5 = 5.
Come si usa la formula se la retta è in forma esplicita y = mx + q?
Si porta in forma implicita mx − y + q = 0, cioè a = m, b = −1 e c = q. Lo strumento lo fa da solo nella modalità «Forma esplicita».
Perché c’è il valore assoluto?
Una distanza non è mai negativa. Il segno di ax₀ + by₀ + c dice solo da che parte della retta si trova il punto.
Che cos’è il piede della perpendicolare?
Il punto della retta più vicino al punto dato, dove la perpendicolare incontra la retta. Per (5; 5) e 3x + 4y − 10 = 0 è (2; 1).
Come si calcola nello spazio?
Con un punto P della retta e il vettore direzione v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, teorema 2.12). Per l’esempio del libro risulta circa 2,69.
Fonti e riferimenti normativi
Aggiornato al: · Principi editoriali
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