Kalkulator jarak titik ke garis
Kalkulator ini menghitung jarak titik ke garis dengan rumus d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Jarak titik (5; 5) ke garis 3x + 4y − 10 = 0 adalah 5. Garis juga bisa dimasukkan sebagai y = mx + n atau lewat dua titik; kalkulator bekerja di ruang dan menampilkan titik proyeksi.
Contoh: Garis diberikan sebagai: Persamaan umum ax + by + c = 0 · Titik: x₀ 5 · Titik: y₀ 5 · a (koefisien x) 3 · b (koefisien y) 4 · c (konstanta) -10 → Jarak: d = 5. Sumber: OpenStax Calculus Volume 3, 2.5 Equations of Lines and Planes in Space – distance = length of the perpendicular segment; Theorem 2.12 d = ‖PM × v‖/‖v‖, Example 2.47 (M(1, 1, 3), P(3, −1, 3), v = ⟨4, 2, 1⟩, PM × v = 2i + 2j − 12k); Theorem 2.14 point–plane distance |ax0 + by0 + cz0 + k|/√(a² + b² + c²) (read 10.10.2026). Diperbarui: .
Cara menghitung
Jarak titik P(x₀; y₀) ke garis ax + by + c = 0 adalah d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²): nilai mutlak hasil substitusi titik ke persamaan, dibagi panjang vektor normal (a; b). Ini adalah panjang ruas garis tegak lurus yang menghubungkan titik dengan garis, sesuai definisi buku ajar OpenStax Calculus. Buku itu memberikan rumus untuk titik dan bidang, |ax₀ + by₀ + cz₀ + k| / √(a² + b² + c²); dengan c = 0 dan z₀ = 0 diperoleh rumus di bidang datar (dihitung).
Contoh jarak titik ke garis
| Garis | Titik | Jarak |
|---|---|---|
| 3x + 4y − 10 = 0 | (5; 5) | 5 |
| 3x + 4y + 5 = 0 | (0; 0) | 1 |
| 5x + 12y − 3 = 0 | (2; 1) | 1,46 |
| x − y + 2 = 0 | (3; 1) | 2,83 |
| 2x − y + 1 = 0 | (1; −2) | 2,24 |
| y − 4 = 0 | (3; 1) | 3 |
| x + 2 = 0 | (5; −1) | 7 |
| 4x − 3y = 0 | (1; 7) | 3,4 |
Langkah demi langkah untuk baris pertama: pembilang |3 · 5 + 4 · 5 − 10| = 25, penyebut √(3² + 4²) = 5, jarak 25 : 5 = 5. Jika garis berbentuk y = mx + n, ubah menjadi mx − y + n = 0; jika melalui dua titik A dan B, a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂, dan c = x₂y₁ − x₁y₂. Jarak 0 berarti titik terletak pada garis.
Jarak titik ke garis di ruang
Di ruang tidak ada persamaan garis ax + by + c = 0. OpenStax memakai sebuah titik P pada garis dan vektor arah v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖, karena PM dan v membentuk jajaran genjang dengan alas ‖v‖ dan tinggi d. Pada Contoh 2.47 buku itu, M(1; 1; 3), P(3; −1; 3), dan v = ⟨4; 2; 1⟩ menghasilkan PM × v = 2i + 2j − 12k dan d = √152 / √21 ≈ 2,69. Pilih mode «Di ruang» untuk kasus ini, misalnya jarak titik ke garis pada kubus yang diletakkan di sistem koordinat.
Jarak antara dua titik dihitung dengan rumus jarak dua titik; persamaan garis dari titik atau gradien diperoleh dengan persamaan garis lurus.
Pertanyaan umum
Apa rumus jarak titik ke garis?
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) untuk garis ax + by + c = 0 dan titik (x₀; y₀). Dari titik (5; 5) ke 3x + 4y − 10 = 0: 25 : 5 = 5.
Bagaimana jika garis berbentuk y = mx + n?
Ubah ke bentuk umum mx − y + n = 0, jadi a = m, b = −1, dan c = n. Kalkulator melakukannya sendiri pada mode «Bentuk y = mx + n».
Mengapa memakai nilai mutlak?
Jarak tidak pernah negatif. Tanda ax₀ + by₀ + c hanya menunjukkan di sisi mana titik berada terhadap garis.
Apa itu titik proyeksi?
Titik pada garis yang paling dekat dengan titik yang diberikan, tempat garis tegak lurus memotong garis. Untuk (5; 5) dan 3x + 4y − 10 = 0 titiknya (2; 1).
Bagaimana menghitung di ruang, misalnya pada kubus?
Letakkan kubus di sistem koordinat, lalu pakai titik P pada garis dan vektor arah v: d = ‖PM × v‖ / ‖v‖ (OpenStax, teorema 2.12). Untuk contoh di buku hasilnya sekitar 2,69.
Sumber dan dasar hukum
Diperbarui: · Kebijakan editorial
Alat terkait
- Kalkulator Jarak Dua TitikHitung jarak dua titik di bidang dan ruang: masukkan koordinat, lalu lihat panjang, titik tengah, dan gradien lengkap dengan langkah perhitungan.
- Persamaan garis lurus – dari dua titik atau gradienPersamaan garis lurus dari dua titik atau satu titik dan gradien: bentuk y = mx + n, bentuk umum, parametrik, titik potong sumbu x, dan langkahnya.
- Kalkulator bentuk titik-gradienKalkulator bentuk titik gradien: dapatkan persamaan garis y − y₁ = m(x − x₁) dari dua titik atau titik dan gradien, plus bentuk y = mx + n dan langkahnya.
- Kalkulator vektor dengan langkah perhitunganKalkulator vektor 2D dan 3D: jumlah, hasil kali titik, hasil kali silang, panjang, sudut, dan proyeksi dua vektor – langsung, lengkap dengan langkah hitung.
- Hitung kemiringanHitung kemiringan dari tinggi dan panjang, persen, sudut, atau rasio 1 : n – dengan konversi ke persen dan derajat, cara hitung, dan tabel nilai umum.
- Persamaan lingkaranPersamaan lingkaran dari pusat dan jari-jari, bentuk umum, atau tiga titik, lengkap dengan kedua bentuk, keliling, luas, dan posisi titik terhadap lingkaran.
- Kalkulator onlineKalkulator online gratis: ketik atau tekan, hasil langsung muncul – dengan urutan operasi, kurung, persen, akar, langkah perhitungan, dan riwayat.
- Nilai tempat bilanganNilai tempat bilangan dalam tabel interaktif: ketik angka atau taruh keping, baca tiap tempat dari miliar sampai perseribu, berlatih, lalu cetak sebagai PDF.
- Kalkulator limitKalkulator limit untuk x→a dan x→±∞: dari kiri dan kanan, dengan tabel nilai serta deteksi divergensi dan lompatan. Gratis, tanpa daftar.